Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 29 lis 2017, o 16:14

Witam.

Proszę o sprawdzenie wyniku:

Równanie:
\(\displaystyle{ y'= \frac{x+y-1}{x+y+1}}\)

Wynik (można go zostawić w tej postaci?):
\(\displaystyle{ x+c=\frac{1}{2}(x+y+\ln (x+y))+c}\)
Ostatnio zmieniony 29 lis 2017, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: SlotaWoj » 29 lis 2017, o 18:07

To co napisałeś chyba jest rozwiązaniem innego równania:
  • \(\displaystyle{ y'=\frac{2x+2y}{x+y+1}}\)
I po co dwie stałe całkowania?

Edit:

Uwaga: Błędy, czytaj następne posty.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 29 lis 2017, o 18:33

To mogę w takim razie prosić o przedstawienie obliczeń? Taki wynik otrzymałem z równania, które podałem, po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x+y}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: SlotaWoj » 29 lis 2017, o 19:06

Jest źle, bo zróżniczkowałem Twoje rozwiązanie stronami, przekształciłem i otrzymałem równanie różniczkowe inne niż zadane.

Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x+y}\) mamy:
  • \(\displaystyle{ t'=\frac{t-1}{t+1}}\)
czyli:
  • \(\displaystyle{ \int\frac{t+1}{t-1}\,\text{d}t=x}\)
Edit:

Uwaga: Błędy, czytaj następne posty.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 29 lis 2017, o 19:27

Najpierw liczę pochodną:
\(\displaystyle{ t=x+y}\)
\(\displaystyle{ y=t-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=-1+\frac{dt}{dx}}\)

No i finalnie dostaję:

\(\displaystyle{ -1+\frac{dt}{dx}=\frac{t-1}{t+1}}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: SlotaWoj » 29 lis 2017, o 20:07

Masz dobrze!
Popełniłem błąd przy różniczkowaniu stronami jak i później (po Twoim drugim poście). Po podstawieniu ma być:
  • \(\displaystyle{ t'=\frac{2t}{t+1}}\)

    i

    \(\displaystyle{ \int\frac{t+1}{2t}\,\text{d}t=x}\)
Ale jedna stała całkowania wystarczy.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 30 lis 2017, o 10:55

A jeśli chodzi o wynik, to zostawić go w postaci uwikłanej, czy można go jeszcze jakoś bardziej wyprowadzić?

ODPOWIEDZ