Transformata Laplacea

[yukimikoto]

Witam.

Bardzo proszę o pomoc w zadaniu oraz wytłumaczeniu, w jaki sposób się je rozwiązuje.

„Wyznacz transformatę odwrotną funkcji, wykorzystując rozkład na ułamki proste”

\(\displaystyle{ F(s) = \frac{s+1}{s^{2}+5s+3\right}}\)

Doszłam do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ s^{2}+5s+3 = 0 \\
\Delta = 5^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3 \\
\Delta=13 \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{13} \\
s_{1} = \frac{-5-\sqrt{13}}{2} \\
s_{2} = \frac{-5+\sqrt{13}}{2}}\)

Gdzie teraz podstawić te wyliczenia? Pozdrawiam.

[SlotaWoj]

Przedstawić mianownik w postaci iloczynowej, dokonać rozkładu

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste

i znaleźć odpowiadające im transformaty odwrotne (pewnie z tablicy transformat).

[yukimikoto]

\(\displaystyle{ \frac{s-1}{(s- \frac{5- \sqrt{13} }{2} )(s- \frac{5+ \sqrt{13} }{2})} = \frac{A}{(s- \frac{5- \sqrt{13} }{2} )} + \frac{B}{(s- \frac{5+ \sqrt{13} }{2})}}\)

\(\displaystyle{ 1=A+B \\
1=\frac{5 - \sqrt{13} }{2}A + \frac{5+ \sqrt{13} }{2}B \\
B= \frac{1}{4} \\
A= \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ L^{-1} \left\{ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5- \sqrt{13} }{2}} \right\} + L ^{-1} \left\{ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 5+ \sqrt{13} }{2}} \right\}}\)

\(\displaystyle{ 3/4 e^{\frac{-5- \sqrt{13} }{2}} + 1/4 e ^{\frac{-5+ \sqrt{13} }{2}}}\)

Na wolframie wyszedł zupełnie inny wynik. W którym momencie popełniłam błąd?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \frac{s{\red{-}}1}{(s-\frac{5-\sqrt{13}}{2})(s-\frac{5+\sqrt{13}}{2})}=\frac{A}{(s-\frac{5-\sqrt{13}}{2})}+\frac{B}{(s-\frac{5+\sqrt{13}}{2})}}\)

Błąd!

\(\displaystyle{ 1=A+B}\)

Źle! Mianowniki ułamków prostych są różne.

Ma być:

• \(\displaystyle{ A\left(s-\frac{5+\sqrt{13}}{2}\right)+B\left(s-\frac{5-\sqrt{13}}{2}\right)=s+1}\)