Policzyć granice ciągu

[Logio]

Witam serdecznie, bardzo prosiłbym o rozwiązanie podanych granic, nie powinny być jednolite i żmudne w znaczeniu rozwiązywania , garść powtórzeniowych granic z jednego z zestawów gdzie pojawiło się liczenie granic za pomocą mnożenia przez sprzężenie, twierdzenia o trzech ciągach, i ze stałą \(\displaystyle{ e}\) oraz prostsze, niestety wydają się trudniejsze od reszty i nie łatwo mi ugryźć te niżej wymienione, co do \(\displaystyle{ (b_n), (f_n)}\) może wydawać się śmieszne, .
Policzyć granice ciągu , jeśli :

\(\displaystyle{ a _{n}=\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{n} + \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} + \left( \frac{11}{13} \right) ^{n} \right)\sin\left( 2n\right)\\
\\
\\
\\
b_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}} \sqrt[n]{5 ^{n}+6 ^{n}+7 ^{n} }
\\
\\
\\
c_{n}= \frac{\sin ^{2} \frac{1}{n} }{\arctg \sqrt{n} }
\\
\\
\\
d_{n}= \sqrt[n]{3 ^{n}+ 5^{n} }+ \frac{2 ^{n}+ 3^{2n} }{n!}
\\
\\
\\
e_{n}=\ln\left( \frac{1}{n}\sin\frac{1}{n} \right)
\\
\\
\\
f_{n}= \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n}+ 5^{n}}+ \frac{3 ^{n+1}+ 4^{n} }{ 2^{n}+4 ^{n+2} }}\)

[a4karo]

My wiemy jak te granice liczyć. Ty powinieneś wykazać się tą umiejętnośćią. Pokaż zatem swoje próby i sprawdzimy, czy poprawnie rozumujesz.

[Belf]

Wskazówka do przykładu: \(\displaystyle{ b_n}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2+3+...n}{n^2}= \frac{ \frac{1+n}{2}\cdot n }{n^2} = \frac{n+n^2}{2n^2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n+6^n+7^n} \le \sqrt[n]{3\cdot 7^n}}\)

i twierdzenie o trzech ciagach.

[Rozbitek]

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6^n + 7^n}}\) i podobne robi się z trzech ciągów:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n}\le \sqrt[n]{5^n + 6^n + 7^n} \le \sqrt[n]{7^n + 7^n + 7^n}}\)

No i pamiętaj o twierdzeniu o sumie/różnicy/iloczynie/ilorazie granic, rozwiązując na przykład \(\displaystyle{ b_n}\).

[Belf]

Wskazówka do: \(\displaystyle{ e_n}\)

Niech:\(\displaystyle{ t = \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \Rightarrow t \rightarrow 0}\)

Mamy: \(\displaystyle{ \lim_{t \to0} \ln(t\cdot \sin t)}\)

[Logio]

\(\displaystyle{ a_{n}}\) Już załapałem że mogę zamienić \(\displaystyle{ \sin\left( 2n\right)}\) na \(\displaystyle{ -1}\) za pomocą tw. o trzech ciągach ograniczając z dołu co wiele nie zmieni bo granica wyjdzie 0, nie wiem dlaczego wcześniej sobie umyślałem że będzie \(\displaystyle{ -\infty}\) czyli inaczej niż w ograniczeniu z góry


Dla \(\displaystyle{ c_{n}}\) Tutaj nie wiem jak ruszyć, czy zamienić \(\displaystyle{ \arctg}\) z jakiegoś wzoru f. cyklometrycznych, czy obliczyć z tw. o trzech ciągach .


Dla \(\displaystyle{ d_{n}= \sqrt[n]{3 ^{n}+ 5^{n} }+ \frac{2 ^{n}+ 3^{2n} }{n!}= 5 \sqrt[n]{ \left( \frac{3}{5}\right) ^{n}+1 } + \frac{2 ^{n}+ 3^{2n} }{n!}}\)


Jednak nie wiem co zrobić z silnią

Wskazówka do: \(\displaystyle{ e_n}\)

Niech:\(\displaystyle{ t = \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \Rightarrow t \rightarrow 0}\)

Mamy: \(\displaystyle{ \lim_{t \to0} \ln(t\cdot \sin t)}\)

Dałoby się rozwiązać bez podstawiania \(\displaystyle{ t}\) ?

[Belf]

Wskazówka do: \(\displaystyle{ f_n}\)

Granica pierwiastka analogicznie do poprzednich , natomiast ułamek po podzieleniu licznika i mianiwnika przez:\(\displaystyle{ 4^n}\)wyglada tak:
\(\displaystyle{ \frac{3( \frac{3}{4})^n + 1 }{( \frac{1}{2})^n + 2 }}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ c_{n}}\):
\(\displaystyle{ 0< \frac{\sin ^{2} \frac{1}{n} }{\arctg \sqrt{n} } \le \frac{1}{n^2}}\)
dla dostatecznie dużych n,
gdyż:
1) dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sin x\le x}\) (znana nierówność);
2) ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \arctan x=\frac \pi 2>1}\), więc także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\arctan \sqrt{n}=\frac \pi 2}\), a w związku z tym dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan \sqrt{n}>1}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{\arctan \sqrt{n}}<1}\)

Co do \(\displaystyle{ d_n}\), dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ x\in \RR}\) masz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x^n}{n!}=0}\), wykorzystaj to i twierdzenie o arytmetyce granic.

-- 29 lis 2017, o 12:20 --

Ogólnie taki użyteczny fakt: jeśli \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich i
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}}=0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0}\).

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ a_n}\)i \(\displaystyle{ c_n}\):
Ja bym skorzystał z faktu: granica ciągu ograniczonego \(\displaystyle{ \cdot 0 = 0}\)

Ale pewnie zbyt piękne, żeby było prawdziwe.