Liczby porządkowe

[Jakub Gurak]

No nic, nie mam ofert z ogłoszenia, na forum NUDA jak dla mnie, a mam potrzebę działać. Podzielę się, przede wszystkim, wspaniałym dowodem, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez inkluzję. Na ważniaku, jest ten dowód, ale jest on trochę ciężki do czytania- kiedyś w pewnym momencie miałem zgrzyt. Oto

DOWÓD:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową. Oczywiście, inkluzja jest relacją porządku na rodzinie zbiorów \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \subset}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ X}\). Weźmy dowolny niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\). \(\displaystyle{ A}\) jest niepustą rodziną zbiorów, możemy więc do niej zastosować aksjomat regularności. Czyniąc to, dostaniemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ a \cap A=\left\{ \right\}}\), że ten iloczyn jest zbiorem pustym. Pokażemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\). Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). Weźmy, dowolny taki element \(\displaystyle{ b}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ b \neq a}\), więc z własności liczb porządkowych (\(\displaystyle{ a,b\in X}\)), mamy \(\displaystyle{ a\in b \vee b\in a}\)- jeden z a,b jest elementem drugiego. Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ a\in b}\). No to, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b\in a}\), i doprowadźmy ten przypadek do sprzeczności. W takim przypadku, ponieważ \(\displaystyle{ b\in A}\), to \(\displaystyle{ b\in a \cap A}\)- sprzeczność, bo z aksjomatu regularności, dostaliśmy, że ten zbiór winien być pusty. Wobec tego konieczne jest, aby \(\displaystyle{ a\in b}\). Z dowolności wyboru, elementu \(\displaystyle{ b}\)- \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). I teraz, aby pokazać, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\) pod względem inkluzji (przypominam \(\displaystyle{ a\in A}\)), to niech \(\displaystyle{ b\in A}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji; a jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\), to na mocy udowodnionej przed chwilą własności, mamy \(\displaystyle{ a\in b}\). Ponieważ jednak element \(\displaystyle{ b}\), jako element liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), jest liczbą porządkową, to z definicji liczby porządkowej, mamy, że każdy element \(\displaystyle{ b}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ b}\). Mamy \(\displaystyle{ a\in b}\), więc \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji. Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), pod względem inkluzji. Z dowolności wyboru zbioru \(\displaystyle{ A}\), każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy, a więc \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową dobrze uporządkowaną przez inkluzję. \(\displaystyle{ \square}\)

Temat liczb porządkowych, będzie można rozwijać, bo to niejeden jest niesforny dowód na ważniaku, dotyczący liczb porządkowych. Mam te dowody, dokładnie rozpisane na papierze ( dzisiejszego nie miałem, pewnie dlatego go wybrałem, robiłem z głowy ). Co więcej, niedawno, przekonałem się, że definicja liczby porządkowej, to rzeczywiście, formalizacja idei, by liczba porządkowa, była zbiorem wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych. Bardzo chętnie się tym podzielę, ale już nie dzisiaj.

[Jan Kraszewski]

Podziwiam Twój zachwyt, zastanawiam się tylko, czy ważniak jest jedynym źródłem, do którego zaglądasz...

JK

[Jakub Gurak]

Nie, było to ulubione źródło matematyki, jednak w końcu do mnie dotarło, że ważniak jest tak nieprzystępny, że się nie nadaje do studiowania dowodów ( poważne skróty myślowe, ale też nie zapiszą czegoś istotnego, to naprawdę może utrudniać...). A ja byłem uparty, i próbowałem studiować...

Ważniak, nie jest jedynym źródłem gdzie zaglądam, i to zapewne dobrze. Na przykład, jak pisałem pracę licencjacką o dobrych porządkach, gdybym miał to zrobić tylko na podstawie ważniaka ( swoją drogą to niemożliwe, muszą być książki), ale gdyby tak można, to znowu było by ciężko ( chociażby brak przykładów). Też na ważniaku, ominąłem kiedyś dwa tematy- temat łańcuchów i temat operacji na relacjach- ze względów podobnych, prawie zupełny brak przykładów. Już nadrobiłem te luki, ale nie dało rady z ważniaka, więc np. w ostatnich miesiącach poprzeglądałem temat operacji na relacjach z wykładu ze studiów.

CIEKAWOSTKA- NIE ZDAŁBYM egzaminu ze wstępu do matematyki:    

Gdy byłem na pierwszym roku studiów (chyba \(\displaystyle{ 7}\) lat temu), wtedy jeszcze nie interesowałem się teorią mnogości. Co więcej, jeśli chodzi o egzamin, byłem przekonany, że go nie zdam, bo żem nic nie umiał. Na wykłady raczej nie chodziłem, i kilka dni przed egzaminem (miałem wtedy w ogóle rezygnować ze studiów, ze względów zdrowotnych) zrobiłem ksero całego wykładu ( gruby plik kartek, a ja żem prawie nic z tego nie wiedział, a do egzaminu kilka dni- wtedy się jeszcze nie interesowałem teorią mnogości). I miałem to szczęście, że egzamin mnie ominął- pani doktor w dniu egzaminu była chora, i zaproponowała przepisanie oceny z ćwiczeń ( z których miałem 4.5- ćwiczenia były proste). W ten oto sposób dostałem \(\displaystyle{ 4.5}\) z egzaminu z logiki i teorii mnogości, za który (wtedy) należała mi się 2.

[Jan Kraszewski]

Nie, było to ulubione źródło matematyki, jednak w końcu do mnie dotarło, że ważniak jest tak nieprzystępny, że się nie nadaje do studiowania dowodów ( poważne skróty myślowe, ale też nie zapiszą czegoś istotnego, to naprawdę może utrudniać...). A ja byłem uparty, i próbowałem studiować...

Może sięgnij po jakieś książki. Nawet w moim podręczniku do Wstępu do matematyki są dodatki, gdzie takie rozumowania jak powyższe można znaleźć. Możesz sięgnąć po "Teorią mnogości" Błaszczyka i Turka. A czytanie "Discovering Modern Set Theory" Justa i Weesego to już sama przyjemność.

Choć oczywiście samodzielne dochodzenie do pewnych rzeczy ma swoją wartość.

JK

[Jakub Gurak]

przekonałem się, że definicja liczby porządkowej, to rzeczywiście, formalizacja idei, by liczba porządkowa, była zbiorem wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych. Bardzo chętnie się tym podzielę, ale już nie dzisiaj.

Więc dzisiaj się tym podzielę. Raz na jakiś czas mam potrzebę konkretniej podziałać.

A więc, robiąc konstrukcję liczb porządkowych, musimy pamiętać tylko o jednej prostej regule- liczba porządkowa jest zbiorem wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych.

A więc, na początku, nie utworzyliśmy jeszcze żadnej liczby porządkowej, czyli zbiór wcześniej utworzonych liczb porządkowych nie posiada elementów, a więc jest zbiorem pustym. Czyli pierwszą naszą liczbą porządkową jest \(\displaystyle{ \emptyset}\). Idziemy do następnego kroku- tym razem sytuacja się zmieniła- mamy jedną liczbę porządkową \(\displaystyle{ \emptyset}\), a więc zbiór wcześniej utworzonych liczb porządkowych to \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\} .}\) W kolejnym kroku, widzimy, że na razie mamy dwie liczby porządkowe- \(\displaystyle{ \emptyset}\), \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\}}\), oznaczmy je odpowiednio przez \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), a więc zbiór wcześniej utworzonych liczb porządkowych to \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\), oznaczmy go jako \(\displaystyle{ 2}\). Dalej, \(\displaystyle{ 3=\left\{ 0,1,2\right\}}\), \(\displaystyle{ 4=\left\{ 0,1,2,3\right\}, \ldots}\)
Nie koniec na tym- pojęcie zbioru pozwala to ciągnąć dalej. Możemy rozważyć zbiór nieskończony \(\displaystyle{ \omega=\left\{ 0,1,2,3, \ldots\right\}}\) złożony z wcześniej utworzonych liczb porządkowych.
Możemy iść dalej, i- co ciekawe- sytuacja się zmieni. Popatrzmy bowiem, jakie liczby porządkowe do tej pory utworzyliśmy- \(\displaystyle{ 0,1,2,3, \ldots}\) ale też \(\displaystyle{ \omega}\). A więc zbiór wcześniej utworzonych liczb porządkowych to: \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,\ldots \right\} \cup \left\{ \omega\right\}=\omega \cup \left\{ \omega\right\} .}\) A więc, jest to kolejna liczba porządkowa- oznaczmy ją \(\displaystyle{ \omega+1}\). W kolejnym kroku sytuacja się znowu zmieni. Popatrzmy jakie utworzyliśmy liczby porządkowe do tej pory- \(\displaystyle{ 0,1,2, \ldots}\), ale też \(\displaystyle{ \omega}\) i \(\displaystyle{ \omega+1}\) A więc, kolejna liczba porządkowa to \(\displaystyle{ \omega \cup \left\{ \omega,\omega+1 \right\}}\)- oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ \omega+2.}\) Konstrukcję można ciągnąć dalej...

Można się tym zachwycić, na co pozwala pojęcie zbioru, ale chciałem wyjaśnić definicję liczb porządkowych ( że ona dokładnie odpowiada naszej regule).

Przypominam, rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ X}\) nazywamy liczbą porządkową, gdy:

1. Każdy element \(\displaystyle{ X}\) ( zbiór z rodziny ) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\).
2. \(\displaystyle{ A,B\in X \Longrightarrow A\in B \vee B\in A \vee A=B.}\)

Natomiast nasza reguła jest taka, że liczba porządkowa jest zbiorem dokładnie wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych. Spróbujemy pokazać, że te dwie definicje się pokrywają.

Najpierw sprawdźmy, czy wymagania stawiane ( w definicji) są dla naszej reguły naturalne. A więc jeśli mamy liczbę porządkową \(\displaystyle{ X}\), czyli zbiór liczb porządkowych od niej mniejszych, więc sprawdzając pierwszy warunek z definicji- jeśli \(\displaystyle{ x\in X}\). a więc gdy \(\displaystyle{ x}\) jest mniejszą liczbą porządkową od \(\displaystyle{ X}\)( wcześniej utworzoną), to każda liczba porządkowa mniejsza ( wcześniej utworzona) od \(\displaystyle{ x}\), jest tym bardziej mniejsza od \(\displaystyle{ X}\)- jest to naturalne. A więc \(\displaystyle{ x \subset X}\). Sprawdzając drugi warunek z definicji- jeśli \(\displaystyle{ x,y\in X}\), oraz \(\displaystyle{ x \neq y}\), czyli mamy dwie liczby porządkowe \(\displaystyle{ x,y}\) mniejsze od \(\displaystyle{ X}\), różne od siebie, to naturalnym jest aby \(\displaystyle{ x}\) stało przed \(\displaystyle{ y}\), albo \(\displaystyle{ y}\) stało przed \(\displaystyle{ x}\). Precyzyjniej, \(\displaystyle{ x}\) jest wcześniej utworzona od \(\displaystyle{ y}\), albo \(\displaystyle{ y}\) wcześniej utworzona od \(\displaystyle{ x}\), czyli \(\displaystyle{ x\in y}\) lub \(\displaystyle{ y\in x}\).

Miałem jeszcze pokazać "wnioskowanie" w drugą stronę- ale trochę brakuję mi energii, wiem, że robiłem to dwa razy, i za każdym razem miałem trudność, więc innym razem, może nie będę zanudzał Ale będzie warto to zrobić, żebym miał już to zapisane.

Może na koniec coś prostego. Mamy słynne twierdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, to \(\displaystyle{ X \cup \left\{ X \right\}}\) jest liczbą porządkową. Otóż, to nie przypadek, ten wzór. Wyobraźmy sobie, że mamy pewien początkowy zbiór liczb porządkowych, który odpowiada liczbie porządkowej \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych ( wcześniej utworzonych). Teraz tworzymy następną liczbę porządkową. Jest ona zbiorem wszystkich liczb od niej mniejszych, czyli tych samych co dotychczas (elementów \(\displaystyle{ X}\)) oraz samo \(\displaystyle{ X}\). Czyli jest to dokładnie zbiór \(\displaystyle{ X \cup \left\{ X \right\}}\) .

[Jan Kraszewski]

Nie koniec na tym- pojęcie zbioru pozwala to ciągnąć dalej. Możemy rozważyć zbiór nieskończony \(\displaystyle{ \omega=\left\{ 0,1,2,3, \ldots\right\}}\) złożony z wcześniej utworzonych liczb porządkowych.

No to jest duży skrót myślowy. \(\displaystyle{ \omega}\) nie jest definiowana jako "zbiór nieskończony złożony z wcześniej utworzonych liczb porządkowych".

JK

[Jakub Gurak]

Ale może być tak zdefiniowana, bo to, z tego co mi wiadomo, prawda. Ale rzeczywiście, tu trzeba dodać, że należy najpierw uruchomić jakąś rekursję, aby utworzyć ciąg: \(\displaystyle{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\}, \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\}\right\}, \ldots}\) Gdy już utworzymy taki ciąg, to śmiało możemy zdefiniować \(\displaystyle{ \omega}\) jako zbiór wyrazów tego ciągu. Ale racja, to był skrót myślowy.

[Jan Kraszewski]

Ale może być tak zdefiniowana, bo to, z tego co mi wiadomo, prawda. Ale rzeczywiście, tu trzeba dodać, że należy najpierw uruchomić jakąś rekursję, aby utworzyć ciąg: \(\displaystyle{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\}, \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\}\right\}, \ldots}\) Gdy już utworzymy taki ciąg, to śmiało możemy zdefiniować \(\displaystyle{ \omega}\) jako zbiór wyrazów tego ciągu.

Nieprawda, nie możemy. Jak chcesz zdefiniować ciąg nie mając zdefiniowanej \(\displaystyle{ \omega}\) ? Jak chcesz to zrobić w uniwersum zbiorów dziedzicznie skończonych?

JK

[Jakub Gurak]

No tak, aby mówić o ciągu potrzebny jest zbiór liczb naturalnych, i (najpierw) aksjomat nieskończoności. Ja tu użyłem ( naiwnie rozumianego) pojęcia ciągu. Ale temat wziął się z konstrukcji liczb porządkowych ( która też nie była do końca głównym celem- chodziło mi bardziej o objaśnienie definicji); więc mówimy o konstrukcji liczb porządkowych- chciałem ją krótko przedstawić. To nie były formalne dowody, że istnieje dokładnie jeden najmniejszy zbiór induktywny, itd. - a jedynie, krótko przedstawiona konstrukcja liczb porządkowych.

Zdaję sobie sprawę, że aby mówić o \(\displaystyle{ \omega}\), to formalnie potrzebny jest aksjomat nieskończoności i wspomniany wcześniej dowód. Ja robiłem krótko konstrukcję, więc użyłem naiwnego pojęcia zbioru- może rzeczywiście w kroku nieskończonym powinienem zaznaczyć, że jest to poprawne

[matmatmm]

Próbuję udowodnić to samo twierdzenie, przy czym korzystam z innej definicji liczby porządkowej tzn.

Zbiór \(\displaystyle{ X}\) nazywamy liczbą porządkową, gdy
1. Każdy element \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\) (\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem tranzytywnym).
2. Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in X}\) : \(\displaystyle{ a\subseteq b}\) lub \(\displaystyle{ b\subseteq a}\).

W dowodzie potrzebuję takiej własności, której nie umiem udowodnić:

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, \(\displaystyle{ a,b\in X}\) oraz \(\displaystyle{ a\subseteq b}\), to \(\displaystyle{ a=b}\) lub \(\displaystyle{ a\in b}\).

Mogę liczyć na jakieś wskazówki?

[Dasio11]

Najpierw udowodnij, że elementy liczb porządkowych są liczbami porządkowymi. Potem lemat:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są takimi liczbami porządkowymi, że \(\displaystyle{ \alpha \subsetneq \beta}\) ale \(\displaystyle{ \alpha \notin \beta}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ \beta' \in \beta}\), takie że \(\displaystyle{ \beta' \subsetneq \alpha}\) ale \(\displaystyle{ \beta' \notin \alpha.}\)

Dowód: \(\displaystyle{ \beta \setminus \alpha}\) jest niepustym zbiorem, więc na mocy aksjomatu regularności istnieje element \(\displaystyle{ \beta' \in \beta \setminus \alpha}\), który jest \(\displaystyle{ \in}\)-minimalny. Korzystając z tranzytywności \(\displaystyle{ \beta}\) i minimalności \(\displaystyle{ \beta'}\) nietrudno pokazać, że \(\displaystyle{ \beta' \subseteq \alpha}\). Skoro \(\displaystyle{ \alpha \notin \beta}\), to \(\displaystyle{ \beta' \neq \alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \beta' \subsetneq \alpha}\). Ponadto \(\displaystyle{ \beta' \notin \alpha}\), gdyż \(\displaystyle{ \beta' \in \beta \setminus \alpha}\), co kończy dowód.

Na sytuację, w której zachodzą założenia lematu, wprowadźmy oznaczenie \(\displaystyle{ \alpha \prec \beta}\). Wtedy lemat można zapisać krócej: jeśli \(\displaystyle{ \alpha \prec \beta}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ \beta' \in \beta}\), że \(\displaystyle{ \beta' \prec \alpha}\).

Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest liczbą porządkową. Aby odpowiedzieć na Twoje pytanie, wystarczy wykazać, że nie istnieją \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \gamma}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha \prec \beta}\). Załóżmy więc nie wprost, że takowe istnieją, i niech

\(\displaystyle{ A = \{ \alpha \in \gamma : (\exists \beta \in \gamma) \, \alpha \prec \beta \} \neq \varnothing}\).

Weźmy element \(\displaystyle{ \in}\)-minimalny \(\displaystyle{ \alpha_1}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\). Wtedy z definicji istnieje \(\displaystyle{ \beta_1 \in \gamma}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha_1 \prec \beta_1}\). Stosując lemat dwa razy, dostajemy \(\displaystyle{ \beta_2 \in \beta_1}\) a potem \(\displaystyle{ \alpha_2 \in \alpha_1}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha_2 \prec \beta_2 \prec \alpha_1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha_2 \in A}\), co jest sprzeczne z minimalnością \(\displaystyle{ \alpha_1}\).

[Jakub Gurak]

Rany, Dasio11, sam na to wpadłeś Ja wczoraj straciłem przeszło trzy godziny na to, i do niczego nie doszłem.Dasio11 muszę powiedzieć że jesteś pomysłowy ( w przeciwieństwie do mnie).

Chyba powinienem zacząć od tego, czy to jest dokładnie równoważna definicja liczby porządkowej, czyli to możemy chyba sprowadzić do pytania, czy przy takiej definicji liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), dla dowolnych różnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B\in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ A\in B}\) lub \(\displaystyle{ B\in A}\). Ciekawi mnie czy te definicje są równoważne

Najpierw udowodnij, że elementy liczb porządkowych są liczbami porządkowymi.

To jedno co mi się udało (łatwo) udowodnić ( dzisiaj).

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową. (definicja matmatmm) Niech \(\displaystyle{ x\in X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą porządkową.

niech \(\displaystyle{ a,b\in x}\). Należy pokazać, że \(\displaystyle{ a \subset b}\) lub \(\displaystyle{ b \subset a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X}\), to z definicji liczby porządkowej \(\displaystyle{ x \subset X}\), zatem \(\displaystyle{ a,b\in x \subset X}\), więc elementy \(\displaystyle{ a,b}\) liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\) spełniają \(\displaystyle{ a \subset b}\) lub \(\displaystyle{ b \subset a.}\)

(2) Niech \(\displaystyle{ y\in x.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \subset x}\). Z definicji liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\) mamy, \(\displaystyle{ x\subset X}\) zatem \(\displaystyle{ y\in x\subset X}\), czyli \(\displaystyle{ y}\) jest elementem \(\displaystyle{ X}\). Zatem stosując definicję liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ x,y}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y \subset x}\) lub \(\displaystyle{ x\subset y}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x\subset y}\), wtedy ponieważ \(\displaystyle{ y\in x}\), to wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y\in y}\)- sprzeczność. Wobec tego musi być \(\displaystyle{ y \subset x.}\)

Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą porządkową.\(\displaystyle{ \square}\)

[Dasio11]

Ja wczoraj straciłem przeszło trzy godziny na to

Też trochę nad tym spędziłem.

Ciekawi mnie czy te definicje są równoważne

Spróbuj to udowodnić. Kluczowy fragment to udowodniony wyżej lemat, reszta jest nietrudna.

[matmatmm]

Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest liczbą porządkową. Aby odpowiedzieć na Twoje pytanie, wystarczy wykazać, że nie istnieją \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \gamma}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha \prec \beta}\). Załóżmy więc nie wprost, że takowe istnieją, i niech

\(\displaystyle{ A = \{ \alpha \in \gamma : (\exists \beta \in \gamma) \, \alpha \prec \beta \} \neq \varnothing}\).

Weźmy element \(\displaystyle{ \in}\)-minimalny \(\displaystyle{ \alpha_1}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\). Wtedy z definicji istnieje \(\displaystyle{ \beta_1 \in \gamma}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha_1 \prec \beta_1}\). Stosując lemat dwa razy, dostajemy \(\displaystyle{ \beta_2 \in \beta_1}\) a potem \(\displaystyle{ \alpha_2 \in \alpha_1}\), takie że \(\displaystyle{ \alpha_2 \prec \beta_2 \prec \alpha_1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha_2 \in A}\), co jest sprzeczne z minimalnością \(\displaystyle{ \alpha_1}\).

Wydaje mi się, że udało mi się zmodyfikować nieco ten dowód, aby otrzymać twierdzenie trochę silniejsze tzn:

Nie istnieją liczby porządkowe \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha\prec\beta}\).
Dowód. Przypuśćmy, że istnieją liczby porządkowe \(\displaystyle{ \alpha_0,\beta_0}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha_0\prec\beta_0}\). Oznaczmy

\(\displaystyle{ A = \{ \alpha \in \alpha_0+1 : \exists \beta \left( \beta \textrm{ jest l.porządkową} \wedge \alpha \prec \beta \right)\}}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \alpha_0\in A\neq \emptyset}\). Weźmy więc element \(\displaystyle{ \in}\)- minimalny \(\displaystyle{ \alpha_1}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\). Z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\) istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \beta_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \alpha_1\prec \beta_1}\). Postępując podobnie jak Dasio11 tzn. stosując lemat dwukrotnie istnieją \(\displaystyle{ \beta_2\in \beta_1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha_2\in\alpha_1}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha_2 \prec \beta_2 \prec \alpha_1}\). Mamy wówczas \(\displaystyle{ \alpha_2\in\alpha_1\in\alpha_0+1}\) i wobec faktu, że \(\displaystyle{ \alpha_0+1}\) jest liczbą porządkową, \(\displaystyle{ \alpha_2\in\alpha_0+1}\), a więc także \(\displaystyle{ \alpha_2\in A}\). Sprzeczność z minimalnością \(\displaystyle{ \alpha_1}\).

Wykorzystałem tutaj nieudowodniony wcześniej (aczkolwiek dość prosty) fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą porządkową, to \(\displaystyle{ \alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}}\) także.