Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

[funny4114]

Rozwiązując równanie: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2}\) metodą uzmienniania stałej otrzymuję funkcję: \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{2}+C }{x}}\), natomiast stosując podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) uzyskuję wynik: \(\displaystyle{ y= \frac{2x ^{2}-C }{2x}}\). Teraz moje pytanie,czy po policzeniu całki w drugiej metodzie, w momencie gdy równanie ma postać: \(\displaystyle{ 2-2 \frac{y}{x} = \frac{C}{x ^{2} }}\) po podzieleniu obustronnie przez 2 po prawej stronie powinienem napisać przykładowo \(\displaystyle{ =\frac{ C_{1} }{ x^{2} } ; C _{1}= \frac{C}{ 2}}\) czy zostawić tak jak napisałem powyżej? Proszę o ogólną radę jak radzić sobie ze stałą w tych równaniach.

[a4karo]

Warto znać inne literki też. Jak rozwiązanie z drugiej metody napiszesz
\(\displaystyle{ y= \frac{2x ^{2}-D }{2x}= \frac{x ^{2}+(-D/2) }{x}}\) to zobaczysz, że to jest to samo gdy \(\displaystyle{ C=-D/2}\)

[funny4114]

W pierwszym poście był błąd w oznaczeniu \(\displaystyle{ C_{1}}\), teraz jest poprawione. Tak czy inaczej czy przed wyznaczaniem stałej z zagadnienia początkowego powinienem doprowadzić do tego, by przed szukaną stałą nie znajdowała się żadna inna? (tak jak w tym przypadku \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\))

[a4karo]

A co za roznica? polowa stałej też jest stałą

[funny4114]

Czyli zawsze mogę napisać: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}C=C, 3\sqrt{80}C=C}\) itd.?

[a4karo]

Tak to nie, bo z takich równości wynika \(\displaystyle{ C=0}\). Po prostu zawsze z tyłu głowy musisz mież świadomość, że rozmawiamy nie o jednej funkcji, ale o całej ich rodzinie. I wtedy zamiast \(\displaystyle{ C+2E}\) możesz napisać \(\displaystyle{ C}\), ale nie ma tu równości tych stałych

[funny4114]

Rozumiem. Teraz dla upewnienia w \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{2}+(-D/2) }{x}}\) związek\(\displaystyle{ - \frac{D}{2}}\) mogę zastąpić przez \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) itd. ale na pewno nie przez \(\displaystyle{ D}\)?

[a4karo]

Na przykład. Dlatego często zapisuje się to \(\displaystyle{ +\ const}\) nie precyzując jak ta stała się nazywa.

[funny4114]

Dziękuję bardzo!