postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednostkow

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednostkow

Post autor: Dzonzi » 26 lis 2017, o 11:28

Witam
Mam problem z tym zadaniem.


Mam taki sygnał i musze go zapisać w postaci analitycznej wykorzystując skok jednostkowy i impuls Diraca. Dla skoku jednostkowego będzie chyba w ten sposób:
\(\displaystyle{ 1(t) = 3[H(t+3) - H(t+1)] + [H(t+1)-H(t-2)] + 2[H(t-2)-H(t-4)]}\)

co powinienem zrobić dalej?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 26 lis 2017, o 12:21

Jest prawie ok. Nie wolno Ci pisać tylko że
\(\displaystyle{ 1(t) = ...}\)
Bo to nie jest \(\displaystyle{ 1(t)}\) (ten zapis jest zarezerwowany dla skoku Heaviside’a) tylko \(\displaystyle{ x(t)}\). Zapomniałeś że \(\displaystyle{ 1(t)=H(t)}\) i pomyliłeś to z sygnałem.
A jeśli miałbym teraz zapisać to za pomocą delt Diraca to skorzystał bym ze wzoru:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{t}\delta (\xi) \mbox{d}\xi=H(t)}\)

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednostkow

Post autor: Dzonzi » 26 lis 2017, o 13:31

Nie rozumiem tego. Możesz zapisać mi ten przykład?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 26 lis 2017, o 13:49

Nie rozumiem tego
Czego? Pisałem o kilku rzeczach.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 26 lis 2017, o 13:50

Tego wzoru, nie mam pojęcia jak to zapisać w postaci analitycznej.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 26 lis 2017, o 14:20

Jeśli zapisujesz sygnał \(\displaystyle{ x(t)}\) za pomocą skoku jednostkowego \(\displaystyle{ H(t)}\) to już skończyłeś. Po prostu

\(\displaystyle{ x(t)= 3\left[ H(t+3) - H(t+1) \right] + \left[ H(t+1)-H(t-2)\right] + 2\left[ H(t-2)-H(t-4)\right]}\)

jest rozwiązaniem zadania. Bo to jest postać analityczna.

Jeśli chcesz zapisać ten sygnał za pomocą impulsów Diraca to dałem Ci wskazówkę co masz zrobić
Ponieważ

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{t}\delta (\xi) \mbox{d}\xi=H(t)}\)

to

\(\displaystyle{ x(t)= 3\left[ \int_{- \infty }^{t+3}\delta (\xi) \mbox{d}\xi - \int_{- \infty }^{t+1}\delta (\xi) \mbox{d}\xi \right] + \left[\int_{- \infty }^{t+1}\delta (\xi) \mbox{d}\xi-\int_{- \infty }^{t-2}\delta (\xi) \mbox{d}\xi\right] + 2\left[ \int_{- \infty }^{t-2}\delta (\xi) \mbox{d}\xi-\int_{- \infty }^{t-4}\delta (\xi) \mbox{d}\xi\right]}\)

Nie upraszczał bym tego więcej bo to tylko zaciemni obraz co tak naprawdę robimy. Więc w tym momencie bym skończył.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 26 lis 2017, o 14:29

Dziękuje, o to właśnie chodziło. Teraz już wiem jak to zapisywać.
A gdybym chciał obliczyć pochodne tych sygnałów i przedstawić ich przebiegi na wykresie?

W skoku jednostkowym muszę te nawiasy wymnożyć i to co wyjdzie zróżniczkować po t tak?
A w impulsie diraca muszę policzyć te całki, a następnie pochodną z wyniku?
Tylko szczerze mówią nie wiem co to jest i jak to policzyć.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 26 lis 2017, o 14:47

Nieformalny matematycznie zapis z którego często korzysta się podczas przetwarzania sygnałów to:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}H(t)=\delta(t)}\)

Nie można tego pokazać na gruncie standardowej analizy ponieważ nie masz tu do czynienia z funkcjami ciągłymi a właściwie to nawet nie są funkcje. Formalizowaniem zajmuje się teoria dystrybucji ale to tylko tak informacyjnie.
Wracając do pytania jak z \(\displaystyle{ x(t)}\) zrobić \(\displaystyle{ x'(t)}\).
Jeśli masz

\(\displaystyle{ x(t)= 3\left[ H(t+3) - H(t+1) \right] + \left[ H(t+1)-H(t-2)\right] + 2\left[ H(t-2)-H(t-4)\right]}\)

To po obustronnym zróżniczkowaniu dostaniesz:

\(\displaystyle{ x'(t)=3\left[ H(t+3)' - H(t+1)' \right] + \left[ H(t+1)'-H(t-2)'\right] + 2\left[ H(t-2)'-H(t-4)'\right]}\)

A za pomocą podanego wyżej wzoru (niezapominająca pochodnej funkcji złożonej) policzysz czym jest:

\(\displaystyle{ H(t+3)'=\delta(t+3) \cdot (t+3)'=\delta(t+3)}\)

itd.

Jeśli sygnał jest zapisany za pomocą impulsów Diraca to pochodną liczysz za pomocą twierdzenia Leibniza a zaczynasz taj jak wyżej od obustronnego różniczkowania.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 27 lis 2017, o 17:53

Czyli dla skoku jednostkowego, w tym przypadku policzenie pochodnej to po prostu zamiana \(\displaystyle{ H}\) na \(\displaystyle{ \delta}\). No dobra, czyli pochodną mam policzoną i wynosi
\(\displaystyle{ x'(t)=3\left[ \delta(t+3) - \delta(t+1) \right] + \left[ \delta(t+1)-\delta(t-2)\right] + 2\left[ \delta(t-2)-\delta(t-4)\right]}\)

Jak to teraz rysuję się na wykresie?

-- 27 lis 2017, o 19:11 --


Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 27 lis 2017, o 19:17

Tak. Choć przydały by się strzałki na każdej z tych \(\displaystyle{ \delta}\) bo wartość dążą do nieskończoności. Ale generalne to ok.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 27 lis 2017, o 21:26

\(\displaystyle{ x'(t)=3\left\delta(t+3) \right -2\left \delta(t+1)\right + \left \delta(t-2)\right -2\left\delta(t-4)}\)

i z tego odczytujemy które idą w górę, które w dół i jakie mają wartości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 27 lis 2017, o 21:56

Tak. Jak przez deltą jest \(\displaystyle{ -}\) to idzie w dół a jak \(\displaystyle{ +}\) to do góry no i wartość to liczba jaka mnoży deltę.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 27 lis 2017, o 22:06

Tylko nie bardzo rozumiem skąd bierze się to równanie które napisałem. Wcześniej zapisaliśmy sygnał w sposób okienkowy, było więcej tych czynników, a ten zapis w ogóle pomija długość trwania sygnału, a zostają tylko te czynniku które są przy pionowych kreskach.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Janusz Tracz » 27 lis 2017, o 22:17

Nierozumnie czemu ten zapis miałby pomijać długość trwania sygnału. Pamiętaj że to jest \(\displaystyle{ x'(t)}\) a nie pierwotny sygnał \(\displaystyle{ x(t)}\).

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Re: postać analityczna sygnału z wykorzystaniem skoku jednos

Post autor: Dzonzi » 27 lis 2017, o 22:23

Ale to
\(\displaystyle{ x'(t)=3\left[ \delta(t+3) - \delta(t+1) \right] + \left[ \delta(t+1)-\delta(t-2)\right] + 2\left[ \delta(t-2)-\delta(t-4)\right]}\)
nie wygląda jakby się uprościło do tego
\(\displaystyle{ x'(t)=3\left\delta(t+3) \right -2\left \delta(t+1)\right + \left \delta(t-2)\right -2\left\delta(t-4)}\)

ODPOWIEDZ