Rozwiązanie równania struny (met. Fouriera)

[Miss_Ka]

Dzień dobry,

mam problem z rozwiązaniem równania struny, gdzie jednym z warunków brzegowych jest pochodna.
Zadanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ u'' _{ x ^{2}}- \frac{1}{4}u'' _{ t ^{2}} =0}\)
\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,t):0 \le x \le 1 \wedge t \ge 0}\right\}}\)

warunki początkowe: \(\displaystyle{ u(x,0)=\sin \frac{ \pi x}{2}}\)
\(\displaystyle{ u' _{t } (x,0)=0}\)
warunki brzegowe: \(\displaystyle{ u(0,t)=u' _{x}(1,t)=0}\)

Moje rozwiązanie zadania jest niepełne i nie jestem pewna czy poprawne. Wygląda tak:
\(\displaystyle{ u(x,t)=X(x)T(t) \\
X''(x)T(t)= \frac{1}{4} X(x)T''(t) \\
\frac{X"(x)}{X(x)} = \frac{1}{4} \frac{T"(t)}{T(t)}=k\ (const.) \\
X"(x)-X(x)k=0}\)

Rozważam przypadek, gdy \(\displaystyle{ k<0}\) i otrzymuję:
\(\displaystyle{ X(x)=C _{1} \cos \lambda x+C _{2}\sin \lambda x}\)

Z warunków brzegowych:
\(\displaystyle{ 0=X(0)=C _{1}}\)

i tutaj nie wiem co zrobić z drugim warunkiem brzegowym w postaci pochodnej \(\displaystyle{ u' _{x}(1,t)=0}\)
Policzyłam pochodną \(\displaystyle{ X'(x)=-C _{1} \lambda \sin \lambda x + C _{2} \lambda \cos \lambda x}\)
i do niej "wstawiłam" warunek brzegowy, otrzymałam:
\(\displaystyle{ 0=X'(1)=-C _{1} \lambda}\)

\(\displaystyle{ 0=X(0)=C _{1} \\
0=X'(1)=-C _{1} \lambda}\)

Z dwóch powyższych równań wynikałoby, że \(\displaystyle{ \lambda = -1}\),
czyli \(\displaystyle{ X(x)=C _{2} \sin (-x)}\)

Czy moje rozważania są poprawne? Bardzo proszę o jakąkolwiek pomoc, sugestię.