Ciąg nieograniczony z definicji

[alabarann]

Zbadać ograniczoność ciągu z definicji:

\(\displaystyle{ a_n= \frac{2^n}{n^2}}\)

Wiem, że ciąg jest rozbieżny, w związku z czym nie jest ograniczony. Jednak nie potrafię zrobić tego z definicji. Moje próby:

\(\displaystyle{ \frac{2^n}{n^2} > M \\[2ex]
\log_2 (2^n) - 2 \log_2 n > \log_2 M \\[2ex]
n - 2 \log_2 n > \log_2 M}\)

Docelowo należy uzyskać:
\(\displaystyle{ n>\text{coś tam bez } n}\)

Proszę o pomoc.

[Zahion]

Dla \(\displaystyle{ n \ge 16}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{n} \ge n^{4}}\)

[alabarann]

Dzięki za odpowiedź, ale dalej nie rozumiem.

[Premislav]

Czego nie rozumiesz?
Udowodnij indukcyjnie nierówność, którą napisał Zahion, po czym szacuj dalej z jej użyciem.

[alabarann]

Rozumiem, że po dowodzie:

\(\displaystyle{ 2^n \ge n^4 \\
a_{n}=2^n/n^2 \ge n^2}\)

Czy to dowodzi, że ciąg nie jest ograniczony? Bo nie do końca rozumiem. Mam też problem z tym dowodem indukcyjnym, nie mam pomysłu jak to szacować.

[Zahion]

Masz pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ M > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{o}}\), że \(\displaystyle{ a_{n_{o}} > M}\). Zastosuj nierówność, którą napisałem np. dla \(\displaystyle{ n_{o} = M + 16}\) i sprawdz czy rzeczywiście wtedy \(\displaystyle{ a_{n_{o}} > M}\).
Drugi krok indukcyjny to \(\displaystyle{ 2n^{4} \ge \left( n+1\right)^{4} \Rightarrow 2 \ge \left( \frac{n+1}{n}\right)^{4}}\). Ciąg z prawej strony jest malejący, ponadto dla \(\displaystyle{ n = 16}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{17^{4}}{16^{4}} = \frac{289^{2}}{256^{2}} < \frac{320^{2}}{256^{2}} = \frac{25}{16} < 2}\). Inne kwestie dokończ sama.

[alabarann]

\(\displaystyle{ a _{n_{0}}= \frac{2^{n_{0} }}{(n_{0})^2} \ge (n_{0})^2=(M+16)^2 >M}\)

I rozumiem, że za \(\displaystyle{ a_{n_{0}}}\) możemy przyjąć dowolną liczbę większą od \(\displaystyle{ M}\), aby powyższa nierówność ostra była spełniona, np. \(\displaystyle{ 16}\), tak?

Co do indukcji to ja wyszłam w 2. kroku z taką implikacją:

\(\displaystyle{ 2^n \ge n^4 \Rightarrow 2^{n+1} \ge (n+1)^4}\) i szczerze mówiąc nie widzę jak uzyskałeś Twoją implikację:

\(\displaystyle{ 2n^4 \ge (n+1)^4 \Rightarrow 2 \ge \left( \frac{n+1}{n}\right)^4}\)

[Zahion]

Nierówność \(\displaystyle{ \left( M + 16 \right)^{2} > M}\) jest spełniona dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ M > 0}\). Jest ona równoważna postaci \(\displaystyle{ M^{2} + 31M + 256 > 0}\), a to oczywiście jest prawdą. Tym samym wykazaliśmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n_{o} = M + 16}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{n_{o}} > M}\), co chcieliśmy pokazać.

\(\displaystyle{ 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2 \ge n^{4} \cdot 2 = 2n^{4}}\). Korzystamy z założenia indukcyjnego, które zapisałaś. Wystarczy więc udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n \ge 16}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4} \ge \left( n + 1 \right)^{4}}\), a to właśnie zrobiłem powyżej. Skoro dla \(\displaystyle{ n \ge 16}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4} \ge \left( n + 1\right)^{4}}\) to mamy \(\displaystyle{ 2^{n+1} \ge 2n^{4} \ge \left( n + 1\right)^{4}}\), co chcieliśmy pokazać.

[alabarann]

Ale chodzi mi o to, że za \(\displaystyle{ n_{0}}\) możemy wziąć dowolną liczbę większą od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , np. \(\displaystyle{ 16}\), tak? Czyli dla danego \(\displaystyle{ M}\) bierzemy wyraz ciągu dla \(\displaystyle{ n=M+\mbox{coś większego od } \frac{1}{4}}\) i ten wyraz będzie większy od \(\displaystyle{ M}\), tak?

Dzięki, faktycznie, teraz widzę to przejście w indukcji.

[Zahion]

Rzeczywiście powinienem uszczegółowić i wziąć \(\displaystyle{ n_{o} = \left[ M \right] + 16}\), jako, że działamy na ciągach. Nie wiem skąd liczba \(\displaystyle{ 1 / 4}\), możemy wziąć na pewno liczbę \(\displaystyle{ n_{o} = \left[ M \right] + k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \ge 16}\) i \(\displaystyle{ k \in C}\). Liczba \(\displaystyle{ 16}\) jest o tyle graniczna, że wtedy wiemy, iż Nasza nierówność, którą dowodziliśmy indukcją działa ponieważ \(\displaystyle{ \left[ M \right] + 16 \ge 16}\).

[alabarann]

Nie wiem, cos źle skombinowałam z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), nie wiem co ja zrobiłam. Założenie, żeby mieć pewność o możliwosć zastosowania twierdzenia z indukcji ma sens. Dzięki