Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B \(\displaystyle{ A = B \iff A \setminus B = B \setminus A}\)
Implikacja z lewej do prawej jest oczywista, więc pozwolę sobie jej tutaj nie rozpisywać.
Natomiast zajmę się teraz drugą implikacją:
\(\displaystyle{ A\setminus B = B\setminus A \Rightarrow A = B}\)
Zrobiłem to przez kontrapozycję - załóżmy, że \(\displaystyle{ A \ne B}\). Wtedy istnieje taki obiekt \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A\setminus B}\) oraz \(\displaystyle{ x \notin B\setminus A}\), zatem \(\displaystyle{ A \setminus B \ne B \setminus A}\).
Moje pytanie jest następujące - czy to wystarczy w rozumowaniu, czy trzeba jeszcze rozważyć dwa przypadki - istnieje obiekt w \(\displaystyle{ B}\), którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\) oraz istnieje obiekt w \(\displaystyle{ A}\) , którego nie ma w \(\displaystyle{ B}\) i istnieje obiekt w \(\displaystyle{ B}\), którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\)?
Kalkulatorek pisze:Wtedy istnieje taki obiekt \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\),
No to jest zdecydowanie nieprawda.
Kalkulatorek pisze:Moje pytanie jest następujące - czy to wystarczy w rozumowaniu, czy trzeba jeszcze rozważyć dwa przypadki - istnieje obiekt w \(\displaystyle{ B}\), którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\) oraz istnieje obiekt w \(\displaystyle{ A}\) , którego nie ma w \(\displaystyle{ B}\) i istnieje obiekt w \(\displaystyle{ B}\), którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\)?
Nie, rozpatrywanie trzech przypadków nie ma sensu. Natomiast niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków - tego, który rozpatrzyłeś i przypadku "istnieje obiekt w \(\displaystyle{ B}\), którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\)". Można przy tym użyć w drugim przypadku zaklęcia "analogicznie" (albo zaklęcia "bez zmniejszenia ogólności załóżmy że" i rozpatrzyć tylko pierwszy przypadek), ale stwierdzenie istnienia dwóch przypadków jest niezbędne.
