Ciąg monotoniczny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 23 lis 2017, o 20:00

Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) , ciąg \(\displaystyle{ ( a_{n} )}\) jest monotoniczny. Wskaż numer \(\displaystyle{ n_{0}}\) i określ rodzaj monotoniczności (rośnie lub maleje).

a) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ An+B }{ Cn+D}}\)

dla: \(\displaystyle{ A=7, B=-1, C=4, D=10}\)

b) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ A^{n} }{ B \cdot n!}}\)

dla: \(\displaystyle{ A=45, B =60}\)
Ostatnio zmieniony 23 lis 2017, o 22:20 przez madzia13121, łącznie zmieniany 4 razy.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16852
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: a4karo » 23 lis 2017, o 20:03

Popraw pkt a), bo nie wiadomo o co chodzi.

W b) rozważ \(\displaystyle{ a_{n+1}/a_n}\)

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 23 lis 2017, o 20:09

a4karo pisze:Popraw pkt a), bo nie wiadomo o co chodzi.

W b) rozważ \(\displaystyle{ a_{n+1}/a_n}\)

Poprawione, aby było czytelnie

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: Jan Kraszewski » 23 lis 2017, o 22:00

madzia13121 pisze:Poprawione, aby było czytelnie
Dalej jest źle. Nie pomyliłaś przypadkiem indeksu górnego z dolnym?

JK

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 23 lis 2017, o 22:21

Jan Kraszewski pisze:
madzia13121 pisze:Poprawione, aby było czytelnie
Dalej jest źle. Nie pomyliłaś przypadkiem indeksu górnego z dolnym?

JK

Ok, nie potrzebnie podstawiłam te n do indeksu dolnego, teraz mam nadzieję będzie zrozumiałe wyrażenia

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: Jan Kraszewski » 23 lis 2017, o 22:42

No to w a) rozważ \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\).

JK

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 23 lis 2017, o 23:10

Ok, w podpunkcie a) wyszło mi, jakoby ciąg był malejący (jeśli dobrze to zrobiłam)
dokładnie wynik \(\displaystyle{ = - \frac{1}{21}}\)

A co jest wyrazem \(\displaystyle{ n _{0}}\) ?
Ostatnio zmieniony 23 lis 2017, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: Jan Kraszewski » 23 lis 2017, o 23:14

madzia13121 pisze:dokładnie wynik \(\displaystyle{ = - \frac{1}{21}}\)
Czego to jest "wynik" ?

Lepiej pokaż, jak liczysz, bo wyszło Ci źle.

JK

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 24 lis 2017, o 01:36

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 7n-1 }{ 4n+10}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{ 7n+1-1 }{ 4n+1+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =\frac{ 7n-7n+1 }{ 4n+1+10-4n+10}=\frac{1}{21}}\)

Nie minus, tylko na plus.. Dobrze to wykonałam czy coś schrzaniłam ? Chyba coś namieszałam..

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16852
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: a4karo » 24 lis 2017, o 06:13

Niestety, nie tak wygląda \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)
Przemyśl to.

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 24 lis 2017, o 16:16

No chyba raczej nie tak... Ale pytanie, jak.. Ratunku

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2094
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Ciąg monotoniczny

Post autor: Zahion » 24 lis 2017, o 16:57

Masz \(\displaystyle{ 7}\) torebek, w każdym po \(\displaystyle{ n}\) ciastek. Do każdej torebki dorzucasz po jednym ciastku \(\displaystyle{ n \rightarrow n + 1}\), będziesz mieć łącznie \(\displaystyle{ 7n + 1}\) ciastek czy może \(\displaystyle{ 7\left( n + 1\right)}\) ?

Krodinor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: Krodinor » 24 lis 2017, o 17:37

A później warto sobie przećwiczyć odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

madzia13121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 23 lis 2017, o 12:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: madzia13121 » 24 lis 2017, o 21:27

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 7n-1 }{ 4n+10}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{ 7\left( n+1 \right) -1 }{ 4\left( n+1 \right)+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =\frac{ 7n+7-1 }{ 4n+4+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =}\)

\(\displaystyle{ =\frac{ 7n+6 }{ 4n+14} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10}}\)

Mam nadzieję, że do tego momentu ok teraz...

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: Ciąg monotoniczny

Post autor: Jan Kraszewski » 24 lis 2017, o 21:32

OK, licz dalej.

JK

ODPOWIEDZ