To są dwa zadania po 10 pkt z matematycznej części olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH". Jakie tematy trzeba zrobić, żeby umieć to rozwiązać i mógłby ktoś napisać od czego zacząć zrobienie któregoś z tych zadań?
1. Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu punktów na płaszczyźnie,
z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej, można wybrać trzy
punkty, które są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego.
2. Ile jest trójek \(\displaystyle{ ( x_{1} , x _{2} , x _{3})}\) liczb całkowitych niedodatnich spełniających
równanie \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + 37 = 0}\)?
Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 24 wrz 2017, o 21:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 64 razy
Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH
Ostatnio zmieniony 23 lis 2017, o 17:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH
1 rozwiązałem robiąc pięciokąt i rozważając przypadki (kiedy jest wypukły, wklęsły itp...)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2017, o 17:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Na wklęsłego pięciokota to obrońcy praw zwierząt mogą się oburzyć...
Powód: Na wklęsłego pięciokota to obrońcy praw zwierząt mogą się oburzyć...
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH
2)
Mamy równanie: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-37}\).
Skoro te trzy liczby są liczbami całkowitymi niedodatnimi , to musi być:\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=37}\),
gdzie:\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.
Szukamy zatem ilości rozwiązań ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych,
a takich rozwiązań jest : \(\displaystyle{ {3+37-1 \choose 37}}\)
Mamy równanie: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-37}\).
Skoro te trzy liczby są liczbami całkowitymi niedodatnimi , to musi być:\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=37}\),
gdzie:\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.
Szukamy zatem ilości rozwiązań ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych,
a takich rozwiązań jest : \(\displaystyle{ {3+37-1 \choose 37}}\)
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy