Policzyc granice ciagu jeśli

[Logio]

Policzyc granice ciagu jeśli

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ \sqrt{n ^{2}+5 }-n }{ \sqrt{n^{2}+2}-n }}\)


Nie jestem pewien odnośnie zasady, pomnożyć mianownik i licznik przez sprzężenie ? Chciałbym tylko wiedzieć czy można pomnożyć tylko licznik i wyciagnąć n'y z mianownika .

[Jan Kraszewski]

Chciałbym tylko wiedzieć czy można pomnożyć tylko licznik i wyciagnąć n'y z mianownika .

Nie, przecież dalej będziesz miał wtedy w mianowniku \(\displaystyle{ [\infty\cdot 0]}\). Licznik i mianownik przez sprzężenie.

JK

[a4karo]

Z twierdzenia Lagrange'a
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x ^{2}+5 }-x }{ \sqrt{x^{2}+2}-x }=\frac{\frac{5}{2\sqrt{\xi_1}}}{\frac{2}{2\sqrt{\xi_2}}}=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{\xi_2}{\xi_1}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x^2<\xi_1<x^2+5}\) i \(\displaystyle{ x^2<\xi_2<x^2+2}\). Zatem

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\sqrt{\frac{x^2}{x^2+5}}<\frac{ \sqrt{x ^{2}+5 }-x }{ \sqrt{x^{2}+2}-x }<\frac{5}{2}\sqrt{\frac{x^2+2}{x^2}}}\)
i dalej juz banalnie