Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

[419862391432]

To są dwa zadania po 10 pkt z matematycznej części olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH". Jakie tematy trzeba zrobić, żeby umieć to rozwiązać i mógłby ktoś napisać od czego zacząć zrobienie któregoś z tych zadań?

1. Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu punktów na płaszczyźnie,
z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej, można wybrać trzy
punkty, które są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego.

2. Ile jest trójek \(\displaystyle{ ( x_{1} , x _{2} , x _{3})}\) liczb całkowitych niedodatnich spełniających
równanie \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + 37 = 0}\)?

[kropka+]

2. kombinatoryka - kombinacje bez powtórzeń

[Biel124]

1 rozwiązałem robiąc pięciokąt i rozważając przypadki (kiedy jest wypukły, wklęsły itp...)

[Belf]

2)

Mamy równanie: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-37}\).

Skoro te trzy liczby są liczbami całkowitymi niedodatnimi , to musi być:\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=37}\),
gdzie:\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.

Szukamy zatem ilości rozwiązań ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych,

a takich rozwiązań jest : \(\displaystyle{ {3+37-1 \choose 37}}\)

[xxDorianxx]

Biel124, Ja tak samo