Przestrzeń funkcji ciągłych
-
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Przestrzeń funkcji ciągłych
Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{\sup })}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych z \(\displaystyle{ [0,1]}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) w metryką supremum
\(\displaystyle{ d_{\sup }(f,g)=\sup \left\{ \left| f(t)-g(t)\right|:t \in [0,1] \right\}}\)
Które z następujących zbiorów są otwarte w tej przestrzeni?
\(\displaystyle{ A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)>0 &\text{ dla }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
B=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
C=\left\{ f \in C[0,1]: \int_{0}^{1}\left| f(t)\right| \mbox{d}t<1 \right\} \\
D=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ jest ściśle rosnąca}\right\}}\)
No dobra to weźmy na razie A. Jak rozumiem, żeby te zbiory były otwarte to dla pewnego małego \(\displaystyle{ r}\), wszystkie funkcje leżące nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) od danej funkcji muszą zachowywać dalej te własności ta?
No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\). Zgadza się?
\(\displaystyle{ d_{\sup }(f,g)=\sup \left\{ \left| f(t)-g(t)\right|:t \in [0,1] \right\}}\)
Które z następujących zbiorów są otwarte w tej przestrzeni?
\(\displaystyle{ A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)>0 &\text{ dla }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
B=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
C=\left\{ f \in C[0,1]: \int_{0}^{1}\left| f(t)\right| \mbox{d}t<1 \right\} \\
D=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ jest ściśle rosnąca}\right\}}\)
No dobra to weźmy na razie A. Jak rozumiem, żeby te zbiory były otwarte to dla pewnego małego \(\displaystyle{ r}\), wszystkie funkcje leżące nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) od danej funkcji muszą zachowywać dalej te własności ta?
No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\). Zgadza się?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 22:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Re: Przestrzeń funkcji ciągłych
Zauważ, że norma dana jest wzorem \(\displaystyle{ ||f|| = \sup_{t\in [0,1]} |f(t)|}\). Łatwo da się wykombinować te powody, norma działa tak, jak w każdej innej przestrzeni topologicznej. Myśl kulkami
-
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Przestrzeń funkcji ciągłych
Ale nie wiem po co nam tu norma. Może ktoś stwierdzić czy to:
Jest dobrze?No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Przestrzeń funkcji ciągłych
No dobra to idziemy dalej.
W B to możemy wziąć funkcję stałą i okaże się, że blisko niej znajdzie się zawsze inna funkcja, stała ,która nie posiada miejsc zerowych. Albo można wziąć funkcję, która ma jedno minimum lub maksimum w zerze i wtedy też znajdzie się w jej otoczeniu funkcja, która nie przyjmuje miejsc zerowych. A zatem w B jest na nie. Zgadza się?
W B to możemy wziąć funkcję stałą i okaże się, że blisko niej znajdzie się zawsze inna funkcja, stała ,która nie posiada miejsc zerowych. Albo można wziąć funkcję, która ma jedno minimum lub maksimum w zerze i wtedy też znajdzie się w jej otoczeniu funkcja, która nie przyjmuje miejsc zerowych. A zatem w B jest na nie. Zgadza się?
-
- Administrator
- Posty: 34485
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Przestrzeń funkcji ciągłych
Jak dla mnie powinieneś najpierw poprawić warunek, bo
\(\displaystyle{ f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]}\)
nie bardzo wiadomo, co znaczy.
JK
\(\displaystyle{ f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]}\)
nie bardzo wiadomo, co znaczy.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34485
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Przestrzeń funkcji ciągłych
Tak jak napisałeś, to może oznaczać różne rzeczy. A wystarczyło napisać
\(\displaystyle{ (\exists t\in[0,1])\,f(t)=0.}\)
JK
\(\displaystyle{ (\exists t\in[0,1])\,f(t)=0.}\)
JK
-
- Administrator
- Posty: 34485
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Przestrzeń funkcji ciągłych
No dobra to C. To weźmy dowolną funkcję f. Wtedy jeśli \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2 }\left( 1-\left| f(t)\right| \right)}\) to wszystkie kule będą chyba siedzieć tam gdzie trzeba. Czyli otwarty ta? Dobrze?