Ograniczoność i monotoniczność ciągów oraz ich granice

[elTadziko]

Mam problem z paroma przykładami.

zad. 1
Zbadać czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{ 4^{1}+1 } + \frac{1}{ 4^{2}+2 } + ... + \frac{1}{ 4^{n}+n }}\)
Z dołu na pewno jest ograniczony od 0, bo to suma liczb dodatnich. Nawet mozna powiedzieć, że od 1/5, bo najmniejszy wyraz ciągu an to 1/5. Ale jak obliczyć ograniczoność z góry? Wydaje mi się, że to będzie 1, ale jak tego dowieść?

zad. 2
Zbadac czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 4^{n} }{ 2^{n} + 3^{n} }}\)

zad. 3
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{ n^{3} + 1} }{ \sqrt[3]{ n^{5} +1 } +1 }}\)

zad. 4
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n \cdot 2^{n} + 1}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} + 2^{n} }{ 5^{n} + 4^{n} } }}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n+2]{ 3^{n} + 4^{n+1} }}\)

[kumnopek1]

zad. 1
Zbadać czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{ 4^{1}+1 } + \frac{1}{ 4^{2}+2 } + ... + \frac{1}{ 4^{n}+n }}\)

a tak to by nie poszło?

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{ 4^{1}+1 } + \frac{1}{ 4^{2}+2 } + ... + \frac{1}{ 4^{n}+n } \le \frac{1}{ 4^{1}} + \frac{1}{ 4^{2} } + \frac{1}{ 4^{3} } + ... + \frac{1}{ 4^{n} } \le \frac{1}{ 4^{1}} + \frac{1}{ 4^{2} } + \frac{1}{ 4^{3} } + ... + \frac{1}{ 4^{n} } + ...= \frac{1}{3}}\), bo:

szereg geometryczny \(\displaystyle{ a_1 = \frac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ q= \frac{1}{4}}\)
zatem suma = \(\displaystyle{ \frac{1}{4} * \frac{1}{1- \frac{1}{4} } = \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{3}{4} } = \frac{1}{3}}\)

zatem \(\displaystyle{ a_{n} \le \frac{1}{3}}\)

ale nie wiem, dawno już takich nie robiłem

[czeslaw]

Potwierdzam, jest ok.

[Dony]

mam problem z podobnym przykładem co autor postu w Zad. 4. Czy ktoś wie jak obliczyć granice takich ciągów z pierwiastkiem n-tego stopnia?

[Dasio11]

2. \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{ \left( \frac{2}{4} \right)^{n+1} + \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}} < \frac{1}{ \left( \frac{2}{4} \right)^{n} + \left( \frac{3}{4} \right)^n}=a_n}\)

czyli ciąg jest malejący.

3.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+1}}{\sqrt[3]{n^5+1}+1}= \lim_{ n\to \infty } \frac{n^\frac{3}{2}}{n^\frac{5}{3}} \cdot \frac{ \sqrt{1+\frac{1}{n^3}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^5}}+\frac{1}{n^\frac{5}{3}}}=\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\sqrt[6]{n}} \cdot \frac{ \sqrt{1+\frac{1}{n^3}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^5}}+\frac{1}{n^\frac{5}{3}}}=0}\)


4.
a)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^n} < \sqrt[n]{n \cdot 2^n+1} < \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{2^n} \cdot \sqrt[n]{2}}\)

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}=\frac{\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+2^n}}{\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n+4^n}}}\)

c)
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[n+2]{3^n+4^{n+1}}<\sqrt[n+2]{2 \cdot 4^{n+2}}}\)