granica ciagu roznica szescianow

[kaissa0012]

probowalam rozwiazac ze wzorem na roznice szescianow ale cos nie idzie prosze o pomoc


obliczyc granice ciagu o wyrazie ogolnym


\(\displaystyle{ a_{n} =n \Biggl ( \sqrt[3]{1- \frac{1}{n}}-1\Biggr)}\)

[janusz47]

Na przykład podstawienie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1 - \frac{1}{n}} = t,}\)

\(\displaystyle{ t \rightarrow 1^{-}.}\)

[kaissa0012]

kurcze nie wiem o co chodzi w Twojej odpowiedzi :/

[Premislav]

Można, jak wspomniałaś, wykorzystać odpowiednie przekształcenie wzoru na różnicę sześcianów:
skoro \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\), to jeśli \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2\neq 0}\) (co zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ ab\neq 0}\)), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a-b= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\)
To teraz podstaw \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{1-\frac 1 n}, \ b=1}\) w tej równości i zobacz, co Ci wyjdzie.

[kaissa0012]

no i wtedy wychodzi mi cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{1- \frac{1}{n} -1}{ \sqrt[3]{(1- \frac{1}{n}) ^{2} }+ \sqrt[3]{1- \frac{1}{n} }+1 }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) dązy do zera wiec postepuje jaby bylo tam 0.
\(\displaystyle{ \frac{0}{ \sqrt[3]{1 ^{2} }+ \sqrt[3]{1}+1 }= \frac{0}{1+1+1}= \frac{0}{3}=0}\)

a w odpowiedzi mam \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\)

co robie zle?

[Premislav]

Zapomniałaś jeszcze o czynniku \(\displaystyle{ n}\). Przecież w ten sposób liczysz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \sqrt[3]{1-\frac 1 n}-1\right)}\), a nie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } {\red n}\cdot\left( \sqrt[3]{1-\frac 1 n}-1\right)}\)

[kaissa0012]

racjaaa, dzieki za pomoc )

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1-\frac{1}{n}} = t,}\)

\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{n} = t^3,}\)

\(\displaystyle{ n = \frac{1}{1 - t^3},}\)


\(\displaystyle{ \lim_{t\to 1^{-}}\frac{1}{1 - t^3}\cdot (t-1)= \lim_{t\to 1^{-}}\frac{-(1-t)}{(1-t)(1^2+ 1\cdot t + t^2)} = \lim_{t\to 1^{-}} \frac{-1}{1 + t +t^2}= -\frac{1}{3}.}\)