Sprawdzenie wynikow i kilka wskazowek

[lolo666]

Zrobiłem kilka zadań z funkcji logarytmicznej i wykładniczej. Wyszły mi, przyznam, brzydkie liczby i chce sprawdzić wyniki, czy się zgadzają.

a) \(\displaystyle{ \log _{3-x} x^{2}+2x-1 \ge 2}\)
Dziedzina:
\(\displaystyle{ \left( - \infty ; -1- \sqrt{2} \right) \cup \left( -1+ \sqrt{2}; 2 \right) \cup \left(2 ; 3 \right)}\)
Sprawdzam pierwszy warunek, kiedy podstawa logarytmu jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) i wychodzi, że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru pustego. Potem drugi warunek, że podstawa logarytmu jest większa niż \(\displaystyle{ 1}\). I tu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; -11 \right\rangle \cup \left\langle 1 ; 2 \right)}\)

b)\(\displaystyle{ \log _{x-2} \left(x^{3} - 14 \right)}\)
Dziedzina:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{14} ; 3 \right) \cup \left( 3 ; \infty \right)}\)
Sprawdza pierwszy przypadek, kiedy podstawa logarytmu jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\). I to jest spelnione dla

\(\displaystyle{ x \in \left( \sqrt[3]{14} ; 3 \right)}\)

Drugi warunek to podobnie jak w poprzednim przykładzie, czyli \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru pustego.

c)\(\displaystyle{ \log \left( 2^{x} + 4^{x} \right) - \log 8 = \log \left( 2^{x-1} - 2^{-2} \right)}\)
I tu podmieniłem \(\displaystyle{ 2}\) do potęgi \(\displaystyle{ x}\) za zmienną \(\displaystyle{ t,}\) wyszło równanie kwadratowe z deltą na minusie, czyli brak miejsc zerowych. Moje pytanie: Czy ktoś mógłby rozwiązać na szybko (lub ma ten zbiór zadań z takimi zadaniami) i mógłby podesłać, czy moje rozwiązania są prawidłowe czy nie.
Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

c)\(\displaystyle{ \log \left( 2^{x} + 4^{x} \right) - \log 8 = \log \left( 2^{x-1} - 2^{-2} \right)}\)
I tu podmieniłem \(\displaystyle{ 2}\) do potęgi \(\displaystyle{ x}\) za zmienną \(\displaystyle{ t,}\) wyszło równanie kwadratowe z deltą na minusie, czyli brak miejsc zerowych.

Tu masz błąd. Pokaż rachunki, to zobaczymy gdzie.

JK

[lolo666]

Korzystając z własności, że różnica logarytmów to logarytm ilorazu:

\(\displaystyle{ \log \frac{1}{8}\left( 2^{x} + 4^{x}\right) = \log \left( 2^{x-1} - \frac{1}{4} \right)}\)

Z racji, że wszystkie logarytmy mają te samą podstawę, mogę "opuścić" logarytmy.

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left( 2^{x} + 4^{x} \right) = 2^{x-1} - \frac{1}{4} | \cdot 8\\
2^{x} + 4^{x} = 2^{x-1} - 2\\
2^{x} + 2^{2x} - 2^{x+2} + 2 = 0\\
2^{x} + 2^{2x} - 4 \cdot 2^{x} + 2 = 0\\
2^{2x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0}\)

Dobra, teraz zauważyłem swój błąd. I chyba delta powinna wyjść. Co do pozostałych wyników, to wszystko dobrze?

[a4karo]

Nie pokazałeś jak robiłeś pozostałe przykłady,. Po wynikach trudno ocenić, ale na oko nie jest dobrze.

[lolo666]

No to dziedzinę wyznaczyłem zgodnie z tymi zasadami, że podstawa logarytmu musi być większa niż \(\displaystyle{ 0}\) itd. I dziedzina, jak patrzę, jest ok.
Potem dzielę to zadanie na dwie części - dwa warunki, kiedy liczba jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) i większa niż \(\displaystyle{ 1.}\)
Tu do a):
\(\displaystyle{ x \in \left( 2 ; 3\right) \\
\log _{3-x} 2\left( x^{2} + 2x -1 \right) \ge \log _{3-x} \left( 3-x \right)^{2}}\)

Po czym opuszczam logarytm, zmieniając znak nierówności na przeciwny - bo podstawa jest mnejsza niż \(\displaystyle{ 1}\). Po wykonaniu równania, policzeniu miejsc zerowych wychodzi, że:
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -11 ; 1\right\rangle}\)
Ale z pierwszym założeniem, czyli że \(\displaystyle{ x}\) należy od dwóch do trzech (aby podstawa była mniejsza niż 1) Wychodzi, że część wspólna tych dwóch zbiorów to zbiór pusty. Podobnie robiłem w drugim przypadku i całe drugie zadanie podobnie - z tym, że tam jest już wielomian 3 stopnia.
Myślę, że wytłumaczyłem zrozumiale. Proszę mi napisać, czy dobrze robię tego typu zadania

[a4karo]

To mało. Podstawą logarytmu nie może być byle co

[lolo666]

No wiem. Jeszcze, że podstawa logarytmu różna od 1. I to w dziedzinie uwzględniłem. Plus liczba logarytmowana musi być dodatnia.