Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

[corvus606]

W ciągu \(\displaystyle{ t=12 s}\) ciało wykonuje \(\displaystyle{ n=15}\) drgań tłumionych. W tym czasie amplituda drgań maleje \(\displaystyle{ m=1,2}\) razy. W chwili początkowej wychylenie było \(\displaystyle{ x_0=15 cm}\), zaś prędkość \(\displaystyle{ v_0=-10 \frac{cm}{s}}\). Obliczyć:
a) amplitudę początkową \(\displaystyle{ A_0}\) i fazę początkową \(\displaystyle{ \alpha}\),
b) amplitudę i wychylenie w chwili czasu \(\displaystyle{ t_1=20 s}\).

Wypisałem podstawowe wzory na drgania tłumione i w sumie stanąłem w miejscu - mam tyle:

\(\displaystyle{ x(t)=x_0 e^{-\beta t} \cos{\omega_t t-\varphi}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac{b}{2m}}\)

Co powinienem zrobić dalej?

[janusz47]

Obliczamy kolejno:

1. Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{t}}\) jako odwrotność czasu relaksacji.

2. Okres drgań \(\displaystyle{ T = \frac{n}{t},}\)

3. Częstość kołową \(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T}}\)

4. Częstość drgań tłumionych \(\displaystyle{ \omega = \sqrt{\omega^2_{0}- \beta^2}.}\)

5. Amplitudę początkową \(\displaystyle{ A_{0}}\) i fazę początkową \(\displaystyle{ \alpha}\) z równań:

6.\(\displaystyle{ x_{0} = A_{0}e^{-\beta\cdot t_{0}}\cos(\omega\cdot t_{0}+\alpha), \ \ v_{0}= x'(0)}\)

7.Amplitudę \(\displaystyle{ A_{1}}\) w chwili \(\displaystyle{ t_{1}.}\)

8. Wychylenie \(\displaystyle{ x(t_{1})}\) w chwili \(\displaystyle{ t_{1}.}\)

[SlotaWoj]

1. Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{t}}\) jako odwrotność czasu relaksacji.

W zadaniu nie ma mowy o żadnej relaksacji.

Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta=\frac{\ln m}{t}}\), gdzie \(\displaystyle{ m=\frac{A(0)}{A(t)}}\) (nie jest to masa).

[janusz47]

W czasie \(\displaystyle{ t = \tau = 1, 2s}\) amplituda zmalała \(\displaystyle{ e .}\) razy.

Iloraz \(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A_{0} +\tau}= e.}\)

Czas, po którym amplituda zmalała \(\displaystyle{ e}\) razy nazywamy czasem relaksacji.

\(\displaystyle{ \beta\cdot \tau = 1, \ \ \beta = \frac{1}{\tau}.}\)

W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \ln \frac{A_{0}}{A(t)} =\ln(m) = \beta\cdot T,}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \beta = \frac{\ln(m)}{T}.}\)

[SlotaWoj]

Iloraz \(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A_{0}+\tau}= e}\)

W mianowniku mamy dodawanie metrów i sekund. Od kiedy tak można?

\(\displaystyle{ \ln\frac{A_{0}}{A(t)}=\ln(m)=\beta\cdot T}\)

Lewa strona równania jest zmienna (zależy od czasu), a prawa strona jest stała. Dlaczego?

[janusz47]

Dla dowolnej chwili \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(t)}{A(t + \tau)} = e.}\)

W szczególności dla amplitudy początkowej:

\(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A(0 + \tau)} = e.}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{A(t)}{A(t +n\cdot T)}}\right)= \beta}\cdot n \cdot T.}\)

W szczególności dla chwili początkowej i jednego okresu \(\displaystyle{ (n = 1)}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{A_{0}}{A(0 +T)}}\right) =\ln(m) = \beta \cdot T.}\)