A jest ciałem ale nie jest sigma ciałem

[wik a]

Niech \(\displaystyle{ X=[0,1)}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie rodziną skończoną sum mnogościowych przedziałów postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le a \le b <1}\). Sprawdzić że A jest ciałem ale nie jest sigma ciałem.

Kompletnie nie wiem jak sprawdzić aksjomaty.
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in A}\)
Z resztą warunków mam problem
W 2 warunku mam zbiór \(\displaystyle{ X=[0,1)}\):
Jeśli \(\displaystyle{ B \in A}\) tzn, że B ma postać \(\displaystyle{ [a,b)}\)
Rozważam dwa przypadki
Pierwszy przypadek
Jeśli \(\displaystyle{ a\neq 0}\) to \(\displaystyle{ XB = [0,a) cup [b,1)}\) Zatem należy to do rodziny \(\displaystyle{ H}\) bo zbiory te są lewostronnie domknięte.
Drugi przypadek
Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\) to \(\displaystyle{ XB = [b,1)}\) Zatem należy to do rodziny \(\displaystyle{ H}\) bo zbior jest lewostronnie domknięty.Czy to jest dobrze? może tak być?

Jak teraz pokazać 3 warunek ? ze jest spełniony na ciało a nie jest na sigma ciało?

[Jan Kraszewski]

By pokazać, że jest ciałem, skorzystaj z 426308.htm.

JK

[wik a]

Mam wykorzysta do policzenia sumy ta różnice ? Czy wystarczy pokazać na przedziałach \(\displaystyle{ A \cup B}\)?

[Jan Kraszewski]

Czekaj, czy na pewno definicja rodziny \(\displaystyle{ A}\) jest dokładnie taka, jak napisałaś? Jeśli tak, to jak chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ [0,1)in A}\) ?

JK

[wik a]

Nie wystarczy pokazać to w ten sposób:
1 przypadek
zbiory są rozłączne i \(\displaystyle{ B}\) ma postać \(\displaystyle{ [a,b)}\) natomiast C \(\displaystyle{ [c,d)}\)
więc \(\displaystyle{ B cup C = [a,b) cup [c,d)}\)
2 przypadek
zbiory nie są rozłączne i tu mam kilka przypadków?-- 17 lis 2017, o 22:08 --Przepraszam, \(\displaystyle{ A}\) to rodzina SKOŃCZONYCH sum mnogościowych przedziałów postaci: \(\displaystyle{ [a,b)}\)

[Jan Kraszewski]

Przepraszam, \(\displaystyle{ A}\) to rodzina SKOŃCZONYCH sum mnogościowych przedziałów postaci: \(\displaystyle{ [a,b)}\)

Nie o to mi chodzi.

Jeśli definicja jest taka:

Niech \(\displaystyle{ X=[0,1)}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie rodziną skończoną sum mnogościowych przedziałów postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le a \le b \red <\black 1}\). Sprawdzić że A jest ciałem ale nie jest sigma ciałem. ?

to \(\displaystyle{ X\notin A}\). Nie miało aby być \(\displaystyle{ 0 \le a \le b \le 1}\) ?

JK

[wik a]

Rozpatruję 3 aksjomat ciała: skupiam sie na dwóch zbiorach
1 przypadek
zbiory są rozłączne i \(\displaystyle{ B}\) ma postać \(\displaystyle{ [a,b)}\) natomiast \(\displaystyle{ C}\) - \(\displaystyle{ [c,d)}\)
więc \(\displaystyle{ B cup C = [a,b) cup [c,d)}\)
2 przypadek czyli zbiory nie są rozłaczne
i tu przypadki
2.1 \(\displaystyle{ a \le c < b < d}\)
i mamy \(\displaystyle{ B cup C = [a,d)}\)
2.2 \(\displaystyle{ c \le a < d < b}\)
\(\displaystyle{ B cup C = [c,b)}\)
2.3 \(\displaystyle{ a \le c < d < b}\)
\(\displaystyle{ B cup C = [a,b)}\)
Może być tak, czy to jest źle?

Dobrze jest. ma być tak jak napisałam. Dlaczego \(\displaystyle{ X}\) miałby nie należeć do \(\displaystyle{ A}\)? Przecież \(\displaystyle{ X}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ 1}\).

[Jan Kraszewski]

Dobrze jest. ma być tak jak napisałam. Dlaczego \(\displaystyle{ X}\) miałby nie należeć do \(\displaystyle{ A}\)? Przecież \(\displaystyle{ X}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ 1}\).

No i co z tego? Przedział \(\displaystyle{ [0,1)}\) nie jest skończoną sumą mnogościową przedziałów postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le a\le b<1}\) z tej prostej przyczyny, że taka suma

\(\displaystyle{ igcup_{i=1}^{n}[a_i,b_i)}\)

jest podzbiorem przedziału \(\displaystyle{ left[ min_{1le ile n}a_i, max_{1le ile n}b_i
ight)}\), a \(\displaystyle{ \max_{1\le i\le n}b_i<1}\), bo każde \(\displaystyle{ b_i<1}\).

JK

[wik a]

Dalej nie rozumiem w takim razie dlaczego X do tego nie należy ?

[Jan Kraszewski]

Bo każda skończona suma przedziałów jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ [0,1)}\), co Ci przed chwilą udowodniłem. Zatem \(\displaystyle{ [0,1)}\) nie może być taką sumą, więc nie spełnia warunku definiującego rodzinę \(\displaystyle{ A}\).

JK

[a4karo]

Dalej nie rozumiem w takim razie dlaczego X do tego nie należy ?

Podejrzewam, że w zadaniu miało być \(\displaystyle{ 0\leq a<b\leq 1}\)

[wik a]

To może jest błąd w poleceniu. Co to zmienia w moim rozwiązaniu?-- 17 lis 2017, o 22:48 --Zrozumiałam o co chodzi tzn dlaczego powinno tam być \(\displaystyle{ \le}\).
Czy 3 aksjomat ciała dobrze rozpisuję? Mogę to zrobić na takie przypadki jak powyżej?

[Jan Kraszewski]

Podejrzewam, że w zadaniu miało być \(\displaystyle{ 0\leq a<b\leq 1}\)

Niewykluczone, ale wtedy trzeba pamiętać, że rozpatrujemy też sumę pustej rodziny przedziałów - inaczej nie dostaniemy zbioru pustego.

Czy 3 aksjomat ciała dobrze rozpisuję? Mogę to zrobić na takie przypadki jak powyżej?

Możesz, ale to nie są wszystkie przypadki.

JK

[wik a]

To jakich brakuje?-- 17 lis 2017, o 23:08 --To jak to można zrobić prościej?

[Jan Kraszewski]

To jakich brakuje?

Po pierwsze, w Twoich przypadkach jest trochę za dużo ostrych nierówności. Po drugie, brakuje kolejności \(\displaystyle{ c,a,b,d}\).

JK