Znaleźć domkniecie liniowe

[poozy]

Znajdz \(\displaystyle{ Lin(A)}\) dla \(\displaystyle{ A \subseteq V}\) jeśli:
a) \(\displaystyle{ V= \RR^{2}, A=\{(1,2),(2,1)\}}\)
b) \(\displaystyle{ V= \RR^{3}, A=\{(x,y,z): x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=1\}}\)
chociaż przykład a zebym mogl zobaczyc schemat jak to w ogóle sie robi, z góry dziekuje

[janusz47]

a)

Z definicji zbioru \(\displaystyle{ A = lin(\alpha_{1}, \alpha_{2})}\) jako podprzestrzeni przestrzeni \(\displaystyle{ V=\RR^2}\), układ wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}= (1,2), \alpha_{2}= (2,1)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) , bo dla każdego wektora \(\displaystyle{ \alpha=(x_{1}, x_{2})}\)

\(\displaystyle{ (x_{1} , x_{2}) = x_{1}\cdot (1,2) + x_{2}\cdot (2,1),}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \alpha = (x_{1} , x_{2})= \frac{-x_{1}+2x_{2}}{3}\cdot (1,2) + \frac{2x_{1}-x_{2}}{3}\cdot (2,1).}\)

[a4karo]

Wsk b) \(\displaystyle{ (1,0,0)\in A}\)

[poozy]

mógłby ktoś pomóc mi z tym przykładem b), jutro mam kolokwium a wciąż niezbyt ogarniam jak to rozwiązać, rozumiem rozwiazanie z a), ale kiedy nie mam podanych wektorów wprost troche sie gubie

[a4karo]

\(\displaystyle{ (x_{1} , x_{2}) = x_{1}\cdot (1,2) + x_{2}\cdot (2,1),}\)

?

[poozy]

w tym przykładzie który zacytowałeś wychodzi, że LinA to cała przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) ale mówie o przykładzie b

[janusz47]

Przykład b)

Należy zapisać dla dowolnego wektora (punktu) \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) należącego do podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq V}\) - zbiór wszystkich kombinacji liniowych współrzędnych sferycznych i wektorów bazy kanonicznej \(\displaystyle{ \vec{e}_{x}}, \vec{e}_{y}}, \vec{e_{z}}}\) dla miar kątów:
\(\displaystyle{ 0 \leq \phi < 2\pi, \ \ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ R =1.}\)