Sprawdzić, że rodzina H jest ciałem

[wik a]

Niech \(\displaystyle{ H}\) jest taką rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X \in H}\) oraz\(\displaystyle{ A\B \in H}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ A \setminus B \in H}\). Sprawdzić, że \(\displaystyle{ H}\) jest ciałem
Sprawdzam warunki
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in H}\) ok
2. Zakładamy, że \(\displaystyle{ A \in H}\)
Wiemy że \(\displaystyle{ X \in H}\), zatem:
\(\displaystyle{ X \setminus A \in H}\) ponieważ \(\displaystyle{ A,X \in H}\)
Mam problem z 3 warunkiem, ktoś pomoże?
3. \(\displaystyle{ A_{i}\in H}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1,\ldots,k}\)
Chcę sprawdzić że suma skończona też należy do rodziny \(\displaystyle{ H}\)
Myślałam żeby to zapisać używając czegoś takiego:

\(\displaystyle{ A_{i} \setminus A{j} \in H}\) dla każdego \(\displaystyle{ A_{i},A_{j} \in H}\) Dobrze? co dalej?

[Jan Kraszewski]

oraz\(\displaystyle{ A\B \in H}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ A \setminus B \in H}\).

Co to znaczy?

JK

[wik a]

Przepraszam źle przepisałam polecenie, miało być:
\(\displaystyle{ A \setminus B \in H}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ A,B \in H}\)

[Jan Kraszewski]

Chcę sprawdzić że suma skończona też należy do rodziny \(\displaystyle{ H}\)

A po co badać dowolną skończoną? Wystarczy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B\in H}\), to \(\displaystyle{ A\cup B\in H}\), a potem skorzystać z indukcji.

Zauważ, że \(\displaystyle{ A\cup B=X\setminus ((X\setminus A)\setminus B)}\).

JK

[wik a]

Tzn? Nie rozumiem teraz? Jak mam to pokazać?

[Jan Kraszewski]

Ale co? Przecież wszystko Ci napisałem.

JK

[wik a]

Ok, już rozumiem. Dziękuję