Badanie zbieżności szeregu

[crative]

Z kryterium Cauchy'ego zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{3 ^{n}+4 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } = \sqrt{ \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{3 ^{n}+4 ^{n} } }= \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{3 ^{n}+4 ^{n} }\right) ^{\frac{1}{n}}}\)

Co dalej można z tym zrobić??

[Premislav]

Można skorzystać z szacowań:
\(\displaystyle{ \frac{3^n}{4^n+4^n} \le \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n} \le \frac{3^n+3^n}{4^n}}\)
tj.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{3^n}{4^n+4^n}} \le \sqrt[n]{ \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}} \le \sqrt[n]{\frac{3^n+3^n}{4^n}}}\)
i z twierdzenia o trzech ciągach.

[crative]

Ale co dalej z tym zrobić, bo nie do końca rozumiem co dały mi te oszacowania?

[Premislav]

\(\displaystyle{ 4^n+4^n=2\cdot 4^n}\) i wyłączyć \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[n]{2}}}\) po lewej;
\(\displaystyle{ 3^n+3^n=2\cdot 3^n}\) i wyłączyć \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) po prawej.
To Ci dały te oszacowania, że dzięki nim możesz policzyć granicę (która wynosi \(\displaystyle{ \frac 3 4}\), co jest zupełnie intuicyjne - w liczniku pod pierwiastkiem dla dużych \(\displaystyle{ n}\) zdecydowanie najistotniejsze jest \(\displaystyle{ 3^n}\), zaś w mianowniku \(\displaystyle{ 4^n}\)).

[crative]

Dziękuje już rozumiem, ale mam jeszcze jeden szereg, z którym nie wiem co zrobić:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{16} }{2 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n ^{16} }{2 ^{n} } } }=\lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{\frac{16}{n}} }{2}}\)

Zatrzymałem się w tym miejscu i nie wiem co dalej

[Premislav]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ lim_{n o infty } n^{frac 1 n}=1}\), dość znana granica.
Tutaj to było udowodnione kilkoma metodami: 205595.htm
No i oczywiście \(\displaystyle{ n^{frac{16}{n}}=left( n^{frac 1 n}
ight)^{16}}\)