Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

[ReallyGrid]

Mam takie zadanie, którego nie potrafię zrobić:

Wykaż, że tylko trzy liczby zespolone są konieczne dla konkretnej transformacji Möbiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+d}}\).

[PoweredDragon]

Znając \(\displaystyle{ M(z)}\) dla trzech liczb, masz już tak na prawdę jednoznacznie wyznaczoną cztery współczynniki. Wystarczy, że podzielisz licznik i mianownik przez a, b, c ALBO d i otrzymasz wzór z trzema współczynnikami, a aby je wyznaczyć potrzebujesz trzech równań

[ReallyGrid]

Jeśli Cię dobrze rozumiem: Mając \(\displaystyle{ M(z_1)}\), \(\displaystyle{ M(z_2)}\) i \(\displaystyle{ M(z_3)}\) jak poniżej:

\(\displaystyle{ M(z_1) = \frac{az_1 + b}{cz_1 + d} \qquad M(z_2) = \frac{az_2 + b}{cz_2 + d} \qquad M(z_3) = \frac{az_3 + b}{cz_3 + d}}\)

To teraz wszystkie trzy równania muszę podzielić przez ten sam czynnik, weźmy \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ M(z_1) = \frac{z_1 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_1 + \frac{d}{a}} \qquad M(z_2) = \frac{z_2 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_2 + \frac{d}{a}} \qquad M(z_3) = \frac{z_3 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_3 + \frac{d}{a}}}\)

I teraz rozwiązuję taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}M(z_1)z_1\frac{c}{a} + M(z_1)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_1\\
M(z_2)z_2\frac{c}{a} + M(z_2)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_2\\
M(z_3)z_3\frac{c}{a} + M(z_3)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_3
\end{cases}}\)

Jeśli tak to ma wyglądać to ok, moimi niewiadomymi są \(\displaystyle{ \alpha = \frac{c}{a}}\), \(\displaystyle{ \beta = \frac{d}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma = \frac{b}{a}}\).
Ale wydaje mi się, że w ten sposób wyliczę jedynie te ilorazy a nie konkretne wartości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), i \(\displaystyle{ d}\). Chyba, że o to chodzi bo nie bardzo rozumiem to zadanie.

[PoweredDragon]

Chodzi o to, że potrzebujesz tylko trzech współczynników. Nie musisz nic liczyć, a jedynie pokazać, że można postać funkcji sprowadzić do funkcji o trzech, a nie czterech współczynnikach i że taki układ równań trzech niewiadomych jest rozwiązywalny (a skoro masz trzy równania, to oczywiście jest)

[ReallyGrid]

Ahh, rozumiem, Dzięki. Ale trzeba jeszcze założyć, że punkty \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\) i \(\displaystyle{ z_3}\) są parami różne Ale wiadomo o co chodzi.