Monotoniczność ciągów

[Sansi]

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązań:

1)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2n+3}{n(n+1)} \\
a _{n+1}= \frac{2(n+1)+3}{(n+1)(n+1+1)}= \frac{2n+5}{ n^{2}+3n+2 } \\
a _{n+1}-a_{n}=\frac{2n+5}{ n^{2}+3n+2 }-\frac{2n+3}{n(n+1)} \\
a _{n+1}-a_{n}=\frac{(2n+5)( n^{2}+n)-(2n+3)( n^{2}+3n+2) }{ (n^{2}+3n+2)( n^{2}+n) } \\
a _{n+1}-a_{n}=\frac{2n ^{3}+2n ^{2}+5n ^{2} +5n-2n ^{3}-6n ^{2}-4n-3n ^{2} -9n-6 }{n ^{4} +n ^{3}+3n ^{3}+3n ^{2} +2n ^{2}+2n } \\
a _{n+1}-a_{n}=\frac{-2n ^{2}-8n-6 }{n ^{4}+4n ^{3}+5n ^{2} +2n }}\)
Ciąg malejący

2)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{3n+1}{n+2} \\
a _{n+1}= \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{3n+4}{n+3} \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{(3n ^{2}+6n+4n+8)-3n ^{2}-9n-n-3 }{ n^{2}+5n+6 } \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{n+5}{n ^{2}+6n+6 }}\)
Ciąg rosnący

3)
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n+1} \\
a _{n+1}=2 ^{n+1+1} \\
a _{n+1}-a_{n}=2 ^{n+1+1}-2^{n+1} \\
a _{n+1}-a_{n}=2}\)
Ciąg rosnący
(nie jestem pewna tego rozwiązania)

4)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2n+3}{n+1} \\
a _{n+1}= \frac{2n+5}{n+2} \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{(2n+5)(n+1)-[(2n+3)(n+2)]}{ n^{2}+3n+2 } \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{2n ^{2}+2n+5n+5-2n ^{2}-4n-3n-6 }{ n^{2}+3n+2 } \\
a _{n+1}-a_{n}= \frac{-1}{ n^{2}+3n+2 }}\)
Ciąg malejący

[szw1710]

1,2,4 zupełnie poprawnie, za to 3 fatalnie i jeszcze błąd rzeczowy. Tu zbadaj iloraz wyrazów następnego i poprzedniego i porównaj z jedynką. Choć - jeśli różnicę policzysz poprawnie, to też łatwo wyjdzie. Ale to przecież widać, że skoro każdy następny wyraz powiększa się dwukrotnie, to ciąg jest .....................

[Sansi]

Dziękuję już widzę co nawyprawiałam

a przynajmniej tak mi się wydaje

czy tak powinno być?

\(\displaystyle{ 2^{n+2} -2 ^{n+1} = (2^{n} \cdot 2 ^{2})-(2 ^{n} \cdot 2)=2^{n}(4-2)= 2^{n} \cdot 2}\)

czyli ciąg rosnący