wykazac indukcja matematyczna

[michalm08]

prosze o pomoc

Wykazać dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\), równość : \(\displaystyle{ 1+2x+3x^{2}+ ... + nx^{n-1}= \frac{ 1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}}\)

[Premislav]

Wątek nie ma nic wspólnego z teorią mnogości. Dużo fajniej się to robi metodą zaburzania sum.
Bierzesz sobie sumę
\(\displaystyle{ S_n=1+2x+3x^2+\ldots +nx^{n-1}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ x\cdot S_n=x+2x^2+3x^3+\ldots +nx^n=(2-1)x+(3-1)x^2+\ldots+(n-1)x^{n-1}+nx^n}\)
czyli
\(\displaystyle{ x\cdot S_n=(1+2x+3x^2+\ldots+nx^{n-1})-(1+x+\ldots +x^{n-1})+nx^n}\)
Po prawej stronie równości masz w pierwszym nawiasie \(\displaystyle{ S_n}\), a w drugim sumę \(\displaystyle{ n}\)początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ 1}\) i ilorazie \(\displaystyle{ x}\), tj.
\(\displaystyle{ (x-1)S_n=nx^n- \frac{1-x^n}{1-x}}\)

A indukcją to można na pałę, wykorzystujesz założenie indukcyjne, sprowadzasz do wspólnego mianownika, wychodzi, do widzenia (tylko jeszcze trzeba pamiętać o pierwszym kroku indukcyjnym).

Poza tym uwaga: wzór nie działa dla \(\displaystyle{ x=1}\) (co najwyżej granica się zgadza).