Symbol obcięcia to \(\displaystyle{ \upharpoonright}\)
upharpoonright
.JK
Mam pokazać, że dla dowolnych dwóch funkcji\(\displaystyle{ g, h}\) ich suma mnogościowa jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g)) = g \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)
Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\) będzie \(\displaystyle{ dom(f) \cap dom(g)}\) (Czy muszę to uzasadnić?)
Aby suma mnogościowa dwóch funkcji była funkcją, musimy się upewnić, że dwie pary o tych samych poprzednikach nie zawierają różnych następników. Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g}\)oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\) na dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\):
Weźmy \(\displaystyle{ (x,y) \in f}\) oraz \(\displaystyle{ (x, z) \in g}\). Na zadanej dziedzinie \(\displaystyle{ f = g}\), zatem \(\displaystyle{ x = z}\), a więc dla każdego argumentu z naszej dziedziny \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\), czyli każde pary o tym samym poprzedniku mają taki sam następnik. Zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) jest funkcją.
Czy ten dowód jest poprawny? Jeżeli tak, to czy muszę przeprowadzać rozumowane w drugą stronę, czy może wszystkie przekształcenia, jakie opisałem, są równoważnościami?