Dowód - suma funkcji obciętych

[Kalkulatorek]

Na wstępie chciałym zaznaczyć, że nie znalazłem symbolu obcięcia funkcji w LaTeXu, zatem używać będę \(\displaystyle{ \Gamma}\), bo jest dość podobna.
Symbol obcięcia to \(\displaystyle{ \upharpoonright}\) upharpoonright.
JK

Mam pokazać, że dla dowolnych dwóch funkcji\(\displaystyle{ g, h}\) ich suma mnogościowa jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g)) = g \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\) będzie \(\displaystyle{ dom(f) \cap dom(g)}\) (Czy muszę to uzasadnić?)
Aby suma mnogościowa dwóch funkcji była funkcją, musimy się upewnić, że dwie pary o tych samych poprzednikach nie zawierają różnych następników. Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g}\)oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\) na dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\):

Weźmy \(\displaystyle{ (x,y) \in f}\) oraz \(\displaystyle{ (x, z) \in g}\). Na zadanej dziedzinie \(\displaystyle{ f = g}\), zatem \(\displaystyle{ x = z}\), a więc dla każdego argumentu z naszej dziedziny \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\), czyli każde pary o tym samym poprzedniku mają taki sam następnik. Zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) jest funkcją.

Czy ten dowód jest poprawny? Jeżeli tak, to czy muszę przeprowadzać rozumowane w drugą stronę, czy może wszystkie przekształcenia, jakie opisałem, są równoważnościami?

[Jan Kraszewski]

Mam pokazać, że dla dowolnych dwóch funkcji\(\displaystyle{ g, h}\) ich suma mnogościowa jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g)) = g \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)

Mam nadzieję, że zdajesz sobie sprawę, że mylenie symboli bardzo utrudnia lekturę. Albo \(\displaystyle{ g,h}\), albo \(\displaystyle{ f,g}\)...

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\) będzie \(\displaystyle{ dom(f) \cap dom(g)}\) (Czy muszę to uzasadnić?)

Poza tym, że to zupełnie nieprawda, to po poprawieniu symboli krótkie uzasadnienie nie byłoby od rzeczy. Pomijając już to, że wypadałoby zacząć od tego, które wynikanie uzasadniasz.

Aby suma mnogościowa dwóch funkcji była funkcją, musimy się upewnić, że dwie pary o tych samych poprzednikach nie zawierają różnych następników.

To ma się nijak do poprzedniego zdania, którego sformułowanie sugeruje, że dowodzisz wynikania \(\displaystyle{ \Rightarrow}\). A skoro tak, to o niczym nie musimy się upewniać - przecież zakładamy, że suma funkcji jest funkcją.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g}\)oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\) na dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f \cup g}\):

Tego zdania nie rozumiem.

Weźmy \(\displaystyle{ (x,y) \in f}\) oraz \(\displaystyle{ (x, z) \in g}\). Na zadanej dziedzinie \(\displaystyle{ f = g}\), zatem \(\displaystyle{ x = z}\), a więc dla każdego argumentu z naszej dziedziny \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\), czyli każde pary o tym samym poprzedniku mają taki sam następnik. Zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) jest funkcją.

Ten fragment z kolei sugeruje, że dowodzisz wynikania \(\displaystyle{ \Leftarrow}\). By dowieść tego wynikania trzeba spostrzec coś w tym stylu, ale sposób prezentacji tego spostrzeżenia jest mocno niejasny.

Czy ten dowód jest poprawny?

To jeszcze nie jest żaden dowód.

Jeżeli tak, to czy muszę przeprowadzać rozumowane w drugą stronę, czy może wszystkie przekształcenia, jakie opisałem, są równoważnościami?

Ale jakie przekształcenia?

Powinieneś uzasadnić dwa wynikania. Postaraj się zrobić to porządnie, za każdym razem pamiętając, co jest założeniem, a co tezą.

JK

[Kalkulatorek]

No więc tak:

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f' = f \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)
\(\displaystyle{ g' = g \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)

Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ f \cup \mbox{g jest funkcją} \iff f' = g'}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Pokażę, że \(\displaystyle{ f' \ne g' \Rightarrow f \cup g \mbox{ nie jest funkcją}}\)
Rozważmy parę \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f'}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), oraz że \(\displaystyle{ (x,z) \in f \cup g \land (x,y) \in f \cup g}\), a zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) nie jest funkcją.

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją} \Rightarrow f' \ne g'}\)
Jako że \(\displaystyle{ f \cup g}\) nie jest funkcją, istnieją \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in dom(f) \cap dom(g)}\) takie, że \(\displaystyle{ (x,y) \in f \cup g}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f \cup g}\). Jako że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami, to jedna para należy do jednej z nich, a druga do drugiej.
Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ y \ne z}\), a więc \(\displaystyle{ g' \ne f'}\)

[Jan Kraszewski]

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f' = f \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)
\(\displaystyle{ g' = g \upharpoonright (dom(f) \cap dom(g))}\)

Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ f \cup \mbox{g jest funkcją} \iff f' = g'}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Pokażę, że \(\displaystyle{ f' \ne g' \Rightarrow f \cup g \mbox{ nie jest funkcją}}\)

Początek OK, ale...

Rozważmy parę \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f'}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), oraz że \(\displaystyle{ (x,z) \in f \cup g \land (x,y) \in f \cup g}\), a zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) nie jest funkcją.

...tutaj mocno przesadziłeś. Rozważasz zupełnie nie wiadomo jakie pary \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f'}\), a dopiero potem powołujesz się na założenie. Niedobrze, przecież nic nie stoi na przeszkodzie, by \(\displaystyle{ y=z}\). Musisz zacząć od tego, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\) i dopiero z tego coś wywnioskować, np. istnienie jakichś par.

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją} \Rightarrow f' \ne g'}\)
Jako że \(\displaystyle{ f \cup g}\) nie jest funkcją, istnieją \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in dom(f) \cap dom(g)}\) takie, że \(\displaystyle{ (x,y) \in f \cup g}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f \cup g}\).

Po pierwsze, zapis \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in dom(f) \cap dom(g)}\) jest niepoprawny, bo pary mogą należeć do funkcji, a nie do ich dziedzin. Po drugie, wniosek na temat dziedzin (jeśli jakiś będziesz chciał wyciągnąć) musi być choć krótko uzasadniony.

JK

[Kalkulatorek]

Rozważmy parę \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f'}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), oraz że \(\displaystyle{ (x,z) \in f \cup g \land (x,y) \in f \cup g}\), a zatem \(\displaystyle{ f \cup g}\) nie jest funkcją.

...tutaj mocno przesadziłeś. Rozważasz zupełnie nie wiadomo jakie pary \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in f'}\), a dopiero potem powołujesz się na założenie. Niedobrze, przecież nic nie stoi na przeszkodzie, by \(\displaystyle{ y=z}\). Musisz zacząć od tego, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\) i dopiero z tego coś wywnioskować, np. istnienie jakichś par.

Czy zatem mogę napisać to w taki sposób:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), a zatem istnieją pary \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in g'}\) takie, że \(\displaystyle{ y \ne z}\)?

[Jan Kraszewski]

Czy zatem mogę napisać to w taki sposób:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), a zatem istnieją pary \(\displaystyle{ (x,y) \in g'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,z) \in g'}\) takie, że \(\displaystyle{ y \ne z}\)?

Nie. Pamiętaj, dowód to ciąg wnioskowań, musisz zatem każdy kolejny krok wywnioskować, a nie wstawić go dlatego, że tak Ci pasuje. Twoje zatem jest nieuzasadnione.

Skoro zakładasz, że \(\displaystyle{ f' \ne g'}\), to co to znaczy?

JK

[Kalkulatorek]

Znaczy to tyle, że istnieje takie \(\displaystyle{ x \in dom(f') = dom(g')}\)
że \(\displaystyle{ f'(x) \ne g'(x)}\), a teraz tutaj można wkleić mój wcześniejszy post.
Czy o to chodziło?

[Jan Kraszewski]

O to chodziło, ale raczej nie wklejałbym postu, tylko dokończył to rozumowanie:

Wtedy \(\displaystyle{ (x,f'(x))\in f'}\) oraz \(\displaystyle{ (x,g'(x))\in g'}\) i ponieważ \(\displaystyle{ f'\subseteq f \subseteq f\cup g}\) i \(\displaystyle{ g'\subseteq g \subseteq f\cup g}\), więc \(\displaystyle{ (x,f'(x)),(x,g'(x))\in f\cup g}\). Wobec tego pary \(\displaystyle{ (x,f'(x)), (x,g'(x))}\) są przykładem na to, że \(\displaystyle{ f\cup g}\) nie jest funkcją.

No a teraz drugie wynikanie.

JK

[Kalkulatorek]

\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją} \Rightarrow f' \ne g'}\)

\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją}}\), a zatem istnieją \(\displaystyle{ x,y,z}\), takie, że \(\displaystyle{ y \ne z}\) i że \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in f \cup g}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ x \in dom(f)}\) i \(\displaystyle{ x \in dom(g)}\), zatem \(\displaystyle{ x \in (dom(g) \cap dom(f))}\), a zatem istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f'(x) \ne g'(x)}\), zatem \(\displaystyle{ f' \ne g'}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją} \Rightarrow f' \ne g'}\)

\(\displaystyle{ f \cup g \mbox{ nie jest funkcją}}\), a zatem istnieją \(\displaystyle{ x,y,z}\), takie, że \(\displaystyle{ y \ne z}\) i że \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in f \cup g}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \red x \in dom(f)}\) i \(\displaystyle{ \red x \in dom(g)}\), zatem \(\displaystyle{ x \in (dom(g) \cap dom(f))}\), a zatem istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f'(x) \ne g'(x)}\), zatem \(\displaystyle{ f' \ne g'}\)

Czerwony fragment to spore nadużycie. Niby skąd to wiemy? Z tego, że \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in f \cup g}\) wiesz tylko, że \(\displaystyle{ x\in dom(f\cup g)}\). Wszystko dalej trzeba uzasadnić (nawiasem mówiąc, nie od razu przechodząc do dziedzin).

Co to znaczy, że \(\displaystyle{ (x,y), (x,z) \in f \cup g}\) ?

JK

[Kalkulatorek]

Znaczy to, że jedna z tych par należy do \(\displaystyle{ f}\), a druga do \(\displaystyle{ g}\) (Nie może być inaczej, bo te pary mają takie same poprzedniki i inny następnik, a \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x \in dom(f)}\) i \(\displaystyle{ x \in dom(g)}\)

[Jan Kraszewski]

No i teraz jest to porządnie uzasadnione.

JK

[Kalkulatorek]

Dziękuję za pomoc w zadaniu, trochę zalazło mi ono za skórę.
Mogę iść spokojnie spać.