Mam problem z rozwiązaniem zadania.
Trzeba wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1+x^{2n}}}\)
z góry dzięki za pomoc
Wyznaczyć przedział zbieżności
-
lukaszek1234567890
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 15 lis 2017, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 3 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wyznaczyć przedział zbieżności
Dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) możemy oszacować
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le |x|^n}\)
a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } |x|^n}\) jest dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) zbieżnym szeregiem geometrycznym,
natomiast dla \(\displaystyle{ |x|>1}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le \frac{|x|^n}{x^{2n}} =|x|^{-n}}\) i podobnie jak wyżej (zakładam, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\)).
Jeszcze trzeba rozważyć \(\displaystyle{ |x|=1}\), wtedy nie ma zbieżności.
To załatwia kwestię zbieżności punktowej (jest ona na \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ -1,1\right\}}\)), bo rozumiem, że o taką chodzi.
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le |x|^n}\)
a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } |x|^n}\) jest dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) zbieżnym szeregiem geometrycznym,
natomiast dla \(\displaystyle{ |x|>1}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le \frac{|x|^n}{x^{2n}} =|x|^{-n}}\) i podobnie jak wyżej (zakładam, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\)).
Jeszcze trzeba rozważyć \(\displaystyle{ |x|=1}\), wtedy nie ma zbieżności.
To załatwia kwestię zbieżności punktowej (jest ona na \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ -1,1\right\}}\)), bo rozumiem, że o taką chodzi.