Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność podanego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! }}\)
Zacząłem tak: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }= \lim_{ x\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)
W tym miejscu się zatrzymałem i nie mam pojęcia jak ruszyć dalej, ktoś mógłby wyjaśnić jak obliczyć taką granicę
Badanie zbieżności szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 16 razy
Badanie zbieżności szeregu
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Z tą granicą to ciężko, ale gdybyś zmienił na
\(\displaystyle{ \lim_{ \red n\black\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)
to będzie łatwiej. Zauważ, że prawdziwe jest oszacowanie
\(\displaystyle{ \frac{(n+1) ^{n} }{3}\ge \frac{n+1 }{3},}\)
a granicę ciągu po prawej łatwo policzyć.
JK
\(\displaystyle{ \lim_{ \red n\black\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)
to będzie łatwiej. Zauważ, że prawdziwe jest oszacowanie
\(\displaystyle{ \frac{(n+1) ^{n} }{3}\ge \frac{n+1 }{3},}\)
a granicę ciągu po prawej łatwo policzyć.
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
A co zrobiłeś z \(\displaystyle{ n^n}\) w mianowniku?\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }}\)
Powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^n}{3n^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3}\cdot \left(1+\frac1n\right)^n}\)
no i należy skorzystać z: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac1n\right)^n=e<3}\)
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Premislav, dzięki za czujność, nie chciało mi się czytać przekształceń...
JK
JK