Udowodnić podane własności

[Rozbitek]

1. \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B = \emptyset}\)


\(\displaystyle{ x \in \left[ (A \setminus B) \cap B\right]}\)

\(\displaystyle{ x \in A \wedge \neg (x \in B)}\), wynika z tego, że \(\displaystyle{ \neg (x \in B)}\)

więc:
\(\displaystyle{ \neg (x \in B) \wedge x \in B \Rightarrow \neg (x \in B)}\)
Zbiór ten jest więc zbiorem pustym (bo nie posiada żadnych elementów).


2. \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A \cup B}\)

\(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B}\),
wówczas:
\(\displaystyle{ x \in A \wedge \neg (x \in B) \vee x \in B}\), teraz z definicji alternatywy \(\displaystyle{ (a \vee (\neg a) \Leftrightarrow a)}\) :
\(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in (A \cup B)}\)

Jest OK?

[jutrvy]

Nie. Bardzo nie ok.

Pierwsze idzie tak:

Ponieważ \(\displaystyle{ A\setminus B\subset B^c}\), gdzie \(\displaystyle{ B^c}\) oznacza dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ B}\) (np. w zbiorze \(\displaystyle{ A\cup B}\)) - łatwo to pokazać (jak?), więc \(\displaystyle{ (A\setminus B)\cap B\subset B\cap B^c = \emptyset}\). Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam - koniec.

Drugie: pokaż zawierania w obie strony, tj pokaż, że \(\displaystyle{ (A\setminus B)\cup B \subseteq A\cup B}\) i na odwrót.

[Jan Kraszewski]

teraz z definicji alternatywy \(\displaystyle{ (a \vee (\neg a) \Leftrightarrow a)}\)

Skąd Ty to wytrzasnąłeś?

Staraj się nie myśleć znaczkami, bo na razie Twoje dowody wyglądają na przeprowadzane według schematu: jak pomanipulować znaczkami żeby otrzymać pożądany efekt.

JK

[Rozbitek]

Ponieważ \(\displaystyle{ A\setminus B\subset B^c}\), gdzie \(\displaystyle{ B^c}\) oznacza dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ B}\) (np. w zbiorze \(\displaystyle{ A\cup B}\)) - łatwo to pokazać (jak?)

Mogę prosić o podpowiedź? Widzę to, ale totalnie nie wiem jak pokazać.

2. \(\displaystyle{ (A\setminus B)\cup B \subseteq A\cup B}\)
Zgodnie z zaleceniami staram się nie myśleć znaczkami, chociaż może powinienem się zastosować do rady Twaina:

Lepiej jest nie odzywać się wcale i wydać się głupim, niż odezwać się i rozwiać wszelkie wątpliwości.

Ale wracając do zadania:

Jeżeli mamy element \(\displaystyle{ x}\), taki, że należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\) i jednocześnie nie należy do zbioru \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru B. Zauważam, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B = \emptyset}\)... Eh, tragedia, przecież to widać
Nie wiem co dalej. A pewnie nawet źle zacząłem...

[Zaratustra]

\(\displaystyle{ A \setminus B := \{ x : x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B \}}\)
Z definicji dopełnienia zbioru, \(\displaystyle{ x \in B^{c}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x \notin B}\).
Możemy napisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ x \in A \cap B^{c} \Leftrightarrow x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \in B^{c} \Leftrightarrow x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\).
Krótko mówiąc \(\displaystyle{ A \setminus B = A \cap B^{c}}\).

Korzystając z tej tożsamości można łatwo skorzystać potem z innych przydatnych tożsamości algebry zbiorów typu prawa pochłaniania, przemienności, rozdzielności, prawa De Morgana, etc. ;]

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ A \setminus B := \{ x : x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B \}}\)
Z definicji dopełnienia zbioru, \(\displaystyle{ x \in B^{c}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x \notin B}\).

Musimy oczywiście pamiętać też, że nie istnieje coś takiego, jak dopełnienie zbioru. Żeby mówić o dopełnianiu, zawsze musimy dopełniać do czegoś, zatem zawsze musi być jakaś ustalona przestrzeń, a my musimy zajmować się wyłącznie jej podzbiorami. jutrvy o tym pamiętał...

Jeżeli mamy element \(\displaystyle{ x}\), taki, że należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\) i jednocześnie nie należy do zbioru \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru B. Zauważam, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B = \emptyset}\)... Eh, tragedia, przecież to widać
Nie wiem co dalej. A pewnie nawet źle zacząłem...

Zauważyłeś tezę, ale nie wiadomo skąd.

W tym zadaniu lepiej sprawdzi się dowód nie wprost. Przypuść, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B \neq \emptyset}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ x\in (A \setminus B) \cap B}\), a stąd już blisko do sprzeczności...

JK

[Rozbitek]

Jeżeli mamy element \(\displaystyle{ x}\), taki, że należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\) i jednocześnie nie należy do zbioru \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru B. Zauważam, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B = \emptyset}\)... Eh, tragedia, przecież to widać
Nie wiem co dalej. A pewnie nawet źle zacząłem...

Zauważyłeś tezę, ale nie wiadomo skąd.

W tym zadaniu lepiej sprawdzi się dowód nie wprost. Przypuść, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B \neq \emptyset}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ x\in (A \setminus B) \cap B}\), a stąd już blisko do sprzeczności...

JK

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B \neq \emptyset}\), wynika stąd, że istnieje \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cap B}\)
\(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \Rightarrow \neg (x \in B)}\), wówczas zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie mają punktów wspólnych. Tutaj strasznie kusi, żeby użyć tezy i powiedzieć, że przecięcie dwóch niepustych rozłącznych zbiorów jest puste. No, ale jeżeli nie można (?), to może byśmy spróbowali tak, że:
Wynika z tego, że istnieje taki, że \(\displaystyle{ x \in B \wedge \neg (x \in B)}\), a to bzdura.

[Jan Kraszewski]

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap B \neq \emptyset}\), wynika stąd, że istnieje \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cap B}\)
\(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \Rightarrow \neg (x \in B)}\), wówczas zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie mają punktów wspólnych. Tutaj strasznie kusi, żeby użyć tezy i powiedzieć, że przecięcie dwóch niepustych rozłącznych zbiorów jest puste. No, ale jeżeli nie można (?), to może byśmy spróbowali tak, że:
Wynika z tego, że istnieje taki, że \(\displaystyle{ x \in B \wedge \neg (x \in B)}\), a to bzdura.

Kombinujesz jak koń pod górkę... Zauważasz potrzebne rzeczy, ale zamiast napisać je normalnie, to mieszasz.

A to robi się najprościej jak się da. Skoro \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cap B}\), to z def. przekroju \(\displaystyle{ x\in A\setminus B}\) i \(\displaystyle{ x\in B}\). Ale jeśli \(\displaystyle{ x\in A\setminus B}\), to (z def. różnicy) w szczególności \(\displaystyle{ x\notin B}\). Sprzeczność.

JK

[Rozbitek]

Pozostało wykazać 2. \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A \cup B}\)

Niech \(\displaystyle{ x \in (A\setminus B)\cup B}\), więc w szczególności, z definicji różnicy zbiorów: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B}\) więc \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow A \cup B}\).

[Jan Kraszewski]

Pozostało wykazać 2. \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A \cup B}\)

Niech \(\displaystyle{ x \in (A\setminus B)\cup B}\), więc w szczególności, z definicji różnicy zbiorów: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B}\) więc \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow A \cup B}\).

Po pierwsze, zbiór nie może być równoważny funkcji zdaniowej, więc zapis \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow A \cup B}\) jest niepoprawny. Powinno być \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow \red x\in\black A \cup B}\).

Po drugie, rozumowanie jest poprawne, ale pokazałeś tylko zawieranie \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B \subseteq A \cup B}\). Zostało jeszcze drugie, minimalnie trudniejsze zawieranie.

JK

[Rozbitek]

Po drugie, rozumowanie jest poprawne, ale pokazałeś tylko zawieranie \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B \subseteq A \cup B}\). Zostało jeszcze drugie, minimalnie trudniejsze zawieranie.

JK

A nie pokazałem w jedną i w drugą stronę? :O
Przepraszam, ale nie widzę...

[Jan Kraszewski]

A nie pokazałem w jedną i w drugą stronę? :O

Oczywiście, że nie. Napisałeś

"Niech \(\displaystyle{ x \in (A\setminus B)\cup B}\), więc w szczególności, z definicji różnicy zbiorów: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B}\)".

To jest ewidentne wynikanie, zdecydowanie nie równoważność.

JK

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ A \cup B \subset (A \setminus B) \cup B}\)

Niech \(\displaystyle{ x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \vee x \in B}\) (z definicji sumy zbiorów). Z prawa podwójnej negacji: \(\displaystyle{ \neg \left( \neg \left( x \in A \vee x \in B\right) \right)}\) z prawa de Morgana wynika, że \(\displaystyle{ \neg (x \in A \wedge x \in B)}\) z definicji iloczynu zbiorów: \(\displaystyle{ \neg x\in A \cap B}\) z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\).
\(\displaystyle{ A \setminus B \subset (A \setminus B) \cup B}\).

[Jan Kraszewski]

Znów manipulujesz znaczkami zamiast pisać dowód. I mylisz się w tych manipulacjach, bo to

Z prawa podwójnej negacji: \(\displaystyle{ \neg \left( \neg \left( x \in A \vee x \in B\right) \right)}\) z prawa de Morgana wynika, że \(\displaystyle{ \neg (x \in A \wedge x \in B)}\)

zdecydowanie nie jest prawdą - z prawa de Morgana wynika, że \(\displaystyle{ \neg (x \red\notin\black A \wedge x \red\notin\black B)}\).

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x \in A \cup B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B}\). Teraz rozważ dwa przypadki: \(\displaystyle{ x\in B}\) i \(\displaystyle{ x\notin B}\).

JK

[Rozbitek]

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x \in A \cup B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B}\). Teraz rozważ dwa przypadki: \(\displaystyle{ x\in B}\) i \(\displaystyle{ x\notin B}\).

JK

Na jednym z wykładów tak sobie myślałem nad rozwiązaniem i wpadłem na:

\(\displaystyle{ x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \vee x \in B}\) , wynika z tego (korzystając z definicji alternatywy), że \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \vee (x \in A \vee x \notin B)}\) w szczególności: \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \notin B)}\) więc z definicji różnicy zbiorów \(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\).
To znaczy, że \(\displaystyle{ A \cup B \subset A \setminus B}\), tym bardziej: \(\displaystyle{ A \cup B \subset (A \setminus B) \cup B}\).