[Ciągi][Analiza] Niestandardowa granica

[koobstrukcja]

Jak się pokaże, że każda z cyfr w \(\displaystyle{ 3^n}\) występuje z tym samym prawdopodobieństwem, to mamy nawet coś mocniejszego, mianowicie:

\(\displaystyle{ \{\{3^n\}\} \sim n\cdot\frac{9}{2}\log_{10}3}\)

co widać na poniższym rysunku dla \(\displaystyle{ n<60000}\)

[Piotr Rutkowski]

Jak się pokaże, że każda z cyfr w \(\displaystyle{ 3^n}\) występuje z tym samym prawdopodobieństwem

Mogłabyś przytoczyć? Dla mnie nie jest to oczywiste... Zmienne opisujące kolejne cyfry nie są niezależne, co nam trochę wiąże ręce...

[psimon]

Dowiedźmy wpierw , że dla każdej liczby postaci \(\displaystyle{ 3^{k}}\) , która spełnia warunek
\(\displaystyle{ 10^{m}}\) > \(\displaystyle{ 3^{k}}\) > \(\displaystyle{ 10^{m-1}}\)
istnieje najmniejsza taka liczba \(\displaystyle{ 3^{l}}\) , że \(\displaystyle{ 3^{l}}\) > \(\displaystyle{ 3^{k}}\) i \(\displaystyle{ 3^{l}=(3^{k})^{j}}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ j}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{l}\equiv 3^{k} \ mod( 10^{m} )}\). \(\displaystyle{ (\omega)\\}\)


Utwórzmy ciąg \(\displaystyle{ (\alpha)\ \ \ : \ \ 1 \ , \ 3^{k} \ , \ (3^{k})^{2} \ , \ \ldots \ , \ (3^{k})^{10^{m}}}\)
Jest to \(\displaystyle{ 10^{m}+1}\) liczb zaś każda z nich może przystawać \(\displaystyle{ mod(10^{m})}\) na \(\displaystyle{ 10^{m}}\) sposobów.
Wynika z tego , że istnieją dwie takie liczby \(\displaystyle{ (3^{k})^{f}}\) i \(\displaystyle{ (3^{k})^{e}}\) , gdzie \(\displaystyle{ f\neq e}\) (niech dla formalności będzie \(\displaystyle{ f>e}\)) , że
obydwie te liczby przystają tak samo \(\displaystyle{ mod(10^{m})}\) .
\(\displaystyle{ (\beta)}\) Jeżeli liczb takich jest więcej to wybieramy taką parę \(\displaystyle{ (e,f)}\) dla której różnica \(\displaystyle{ f-e}\) jest najmniejsza.
Mamy \(\displaystyle{ (3^{k})^{f} - (3^{k})^{e} = (3^{k})^{e}*((3^{k})^{f-e}-1)\equiv 0 \ mod(10^{m})}\) , skąd: \(\displaystyle{ (3^{k})^{f-e}\equiv 1 \ mod(10^{m})}\) , wobec czego \(\displaystyle{ (3^{k})^{f-e+1}\equiv 3^k \ mod(10^{m})}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ (3^{k})^{f-e}}\) przez \(\displaystyle{ \lambda}\). Widzimy, że dla każdych naturalnych liczb \(\displaystyle{ c,d}\) mamy \(\displaystyle{ (3^{k})^{c}*\lambda^{d}\equiv (3^{k})^{c} \ mod(10^{m})}\) skąd oraz z uwagi na \(\displaystyle{ (\beta)}\) wnioskujemy , że liczba \(\displaystyle{ f-e}\) jest najmniejszym okresem przystawania w tych kongruencjach, wobec czego \(\displaystyle{ (3^{k})^{f-e+1}}\) jest szukana liczbą \(\displaystyle{ 3^{l}}\).

Oznaczmy teraz funkcję \(\displaystyle{ kox(3^{k})=3^{l}}\) która każdej liczbie postaci \(\displaystyle{ 3^{k}}\) przyporządkowuje liczbę \(\displaystyle{ 3^{l}}\) wedle powyższego wzoru.

Ustalmy teraz ciąg \(\displaystyle{ a_{n \in \mathbb{N}}}\) o wyrazie wyrazie początkowym \(\displaystyle{ a_{1}=3}\) i wzorze rekurencyjnym \(\displaystyle{ a_{n+1}=kox(a_{n})}\).
Jego trzy początkowe wyrazy to \(\displaystyle{ 3\ , \ 243\ , \ 3^{105}}\). Skoro w myśl \(\displaystyle{ (\omega)}\) jest \(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n}}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) kończy się w zapisie sekwencją liczb będąca liczbą \(\displaystyle{ a_{n}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ S(a_{n+1})>S(a_{n})}\) , gdyż liczba \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) ma przed sekwencją \(\displaystyle{ a_{n}}\) również inny cyfry. Skoro zaś minimum sumy reszty cyfr to 1 (liczba nie może zaczynać się samymi zerami) to \(\displaystyle{ S(a_{n+1})-S(a_{n})\geqslant 1}\). Z tąd oraz z uwagi na to , że\(\displaystyle{ S(3)=3}\) mamy \(\displaystyle{ S(a_{n})\geqslant n+2}\).
Ostatecznie z uwagi na to że \(\displaystyle{ a_{n \in \mathbb{N}}}\) jest nieskończonym podciągiem nieskończonego ciągu \(\displaystyle{ \ \ 3\ ,\ 9\ ,\ 27\ ,\ ...}\) i tego , że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n+2 = \infty}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S(a_{n})= \infty}\) , przeto oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S(3^{n})=\infty}\).

[abc666]

Stąd, że podciąg ma granicę wynika, że ciąg ma granicę i jest ona taka sama?

[psimon]

Może tak , a może nie.
Moim zdaniem ze zapisu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S(a_{n})= \infty}\) nie wynika, że podciąg ma granicę , zaś wynika , że tej granicy nie ma.
Cały czas w ciągu 1 , 3, 9 , 27 , ... będą występowały elementy, które dążą do nieskończoności.

[Piotr Rutkowski]

A raki ciąg
\(\displaystyle{ a_{2k}=2k \ a_{2k+1}=0}\) ma granicę?

[XMaS11]

Ma pomiędzy 0 a \(\displaystyle{ + \infty}\) przecież.

[Rozbitek]

A ja się zapytam, dlaczego nie z trzech ciągów?

\(\displaystyle{ n < \left\{ \left\{ 3^n\right\} \right\} < \sum_{n=1}^{ \infty } 3^n}\)

[Marcinek665]

A skąd wiadomo, że to się z dołu szacuje przez \(\displaystyle{ n}\)? W zapisie dziesiętnym może być dużo zer.