Relacja jest symetryczna - dowód

[Kalkulatorek]

Witam.
Mam pokazać, że relacja jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R = R^{-1}}\). Czyli, innymi słowy, należy pokazać, że

\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)(xRy \rightarrow yRx) \Longleftrightarrow R = R^{-1}}\)
No to zacznijmy od pokazania implikacji w prawą stronę - na tym etapie natknąłem się na pewien problem: mam pokazać, że
\(\displaystyle{ (x,y) \in R \Leftrightarrow (x,y) \in R^{-1}}\)
Jednak w samym założeniu mamy tylko implikację, więc jestem co najwyżej w stanie pokazać, że:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)) \Leftrightarrow (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (x,y) \in R^{-1}) \Leftrightarrow R \subseteq R^{-1}}\)
Stąd moje pytanie - skąd mogę wziąć tę implikację w drugą stronę?

[Jan Kraszewski]

Jednak w samym założeniu mamy tylko implikację, więc jestem co najwyżej w stanie pokazać, że:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)) \Leftrightarrow (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (x,y) \in R^{-1}) \Leftrightarrow R \subseteq R^{-1}}\)

Fuj. Dowód powinien być zapisany zdaniami, a nie ciągami znaczków. Jak się widzi coś takiego, to od razu odechciewa się czytać.

Stąd moje pytanie - skąd mogę wziąć tę implikację w drugą stronę?

Zauważ, że z powyższych znaczków można wywnioskować, że

\(\displaystyle{ R - \mbox{ symetryczna}\iff R \subseteq R^{-1},}\)

trzeba zatem pokazać, że \(\displaystyle{ R \subseteq R^{-1}\iff R=R^{-1}}\). Oczywiście wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ R \subseteq R^{-1} \Rightarrow R=R^{-1}}\), a nawet \(\displaystyle{ R \subseteq R^{-1} \Rightarrow R^{-1} \subseteq R}\). A to już pokazuje się standardowo: ustalasz dowolne \(\displaystyle{ (x,y)\in R^{-1}}\) itd.

JK

[jutrvy]

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ (x,y)\in R^{-1}}\), to \(\displaystyle{ (y,x)\in R}\), a z założenia (\(\displaystyle{ R}\) jest symetryczna) dostajemy, że \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\). Stąd zawieranie, o które pytasz.

[Kalkulatorek]

@jutrvy

Problem jest taki, że założenie wygląda następująco: \(\displaystyle{ xRy \Rightarrow yRx}\), zatem implikacja jest tylko w prawą stronę. Czy mimo to można i tak wywnioskować, to, co napisałeś - że \(\displaystyle{ yRx \Rightarrow xRy}\)

[Jan Kraszewski]

Czy mimo to można i tak wywnioskować, to, co napisałeś - że \(\displaystyle{ yRx \Rightarrow xRy}\)

No przecież \(\displaystyle{ x,y}\) są dowolne.

JK

[Kalkulatorek]

Czy w takim razie w definicji symetrii implikacja mogłaby być w dwie strony?

[Jan Kraszewski]

Tak, ale po co? Im prostsza definicja, tym lepiej.

JK