Granica sum

[Czarteg]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}}\)
Mam problem z tą granicą. W wyniku poszukiwań w google znalazłem tylko informacje o szeregu harmonicznym, który nie jest zbieżny.. Jednak w odp. widnieje granica równa 1. Przykład z Analizy matematycznej Gewerta, Skoczylasa.
Proszę o pomoc

[a4karo]

Wsk:\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+1}}\)

[arek1357]

Zapisz to tak:

\(\displaystyle{ \frac{H_{n}+ \frac{1}{n+1} }{H_{n}}}\)

Dalej widać

[Premislav]

Gwoli ścisłości tam by było w liczniku i mianowniku \(\displaystyle{ H_n-1}\). Tylko jeszcze trzeba oczywiście wiedzieć, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } H_n=+\infty}\)
Można to udowodnić na wiele sposobów, np. tak:
kładąc w znanej nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+x)\le x}\) kolejno
\(\displaystyle{ x=1, x=\frac 1 2, \ldots x=\frac 1 n}\) mamy nierówności:
\(\displaystyle{ \ln 2 \le 1\\ \ln\left( \frac 3 2\right) \le \frac 1 2\\ \ldots\\ \ln\left( \frac{n+1}n\right) \le \frac 1 n}\)
Po dodaniu tych nierówności stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n} \ge \ln 2+\ln \left( \frac 3 2\right) +\ldots+\ln\left( \frac{n+1}{n}\right) =\ln(n+1)}\)
gdyż suma logarytmów to logarytm iloczynu.

[Czarteg]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+0)}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}{\to\ 0}}\)?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+0)}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}{\to\ 0}}\)?

A cóż miałby znaczyć ten magiczny zapis?

JK

[Czarteg]

Haha faktycznie, zapisałem to jakbym w życiu granic w szkole nie miał
Miało to oznaczać tyle co \(\displaystyle{ \frac{H_{n}}{H_{n}}=1,\ \frac{1}{n+1}{\to\ 0}\)
I przy rozwiązywaniu granicy, po "opuszczeniu limesa i zmiennej \(\displaystyle{ n}\) otrzymamy \(\displaystyle{ ...=1+0}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{H_{n}}{H_{n}}=1}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}{\to\ 0}\)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

[Jan Kraszewski]

I przy rozwiązywaniu granicy, po "opuszczeniu limesa i zmiennej \(\displaystyle{ n}\) otrzymamy \(\displaystyle{ ...=1+0}\)

To dalej nie wygląda najlepiej, bo w tej granicy nie występuje czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{H_n\cdot(n+1)}}\). "Opuszczanie limesa i zmiennej \(\displaystyle{ n}\)" też brzmi podejrzanie.

JK

[Czarteg]

Czyli, że to jest niepoprawne?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{H_{n}+ \frac{1}{n+1} }{H_{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{H_{n}}{H_{n}}+\frac{\frac{1}{n+1}}{H_{n}}}\)

[a4karo]

POprawnie, tylko nie to napisałeś

Ale granica której szukasz to nie \(\displaystyle{ H_{n+1}/H_n}\) lecz (jak słusznie zauważył Premislav
\(\displaystyle{ (H_{n+1}-1)/(N_n-1)}\)

[Czarteg]

Okej, dzięki wszystkim