Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

[mwrooo]

Witam, dlaczego jeżeli ciąg jest zbieżny "na dwa sposoby" to te granice muszą być równe? Do tematu można by dorzucić jeszcze zbieżność w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\).

[szw1710]

Jeśli ciąg jest zbieżny prawie wszędzie, to zbiór punktów, gdzie nie jest zbieżny, ma miarę zero. Do zbioru miary zero podchodzimy zbiorami o miarach \(\displaystyle{ <\varepsilon}\). To da nam zbieżność wg miary do tej samej funkcji.

[mwrooo]

No okej, to by się zgadzało, ale np. zbieżność prawie wszędzie i w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\), nie ma związku a jednak granica jest ta sama.

[leg14]

Bo zbieznosc prawie na pewno i Lp implikuja zbieznosc wedlug miary. A zbieznosc wedlug miary jest jednoznaczna.

[mwrooo]

Okej, czyli po prostu zawsze sprowadzamy sytuację do "słabszej" zbieżności. Dzięki za pomoc.

[Wasilewski]

Tutaj trzeba być trochę bardziej ostrożnym. Rozważmy ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) takich, że są one równe \(\displaystyle{ 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\), równe \(\displaystyle{ 1}\) poza przedziałem \(\displaystyle{ [-n-1,n+1]}\) i liniowe pomiędzy. Taki ciąg zbiega wszędzie do zera, a nie zbiega do zera względem miary Lebesgue'a.

[szw1710]

Wasilewski, witaj, dawno nie widziany (przeze mnie) przyjacielu.

Oj trzeba sobie przypomnieć co nieco z teorii miary. W tym celu otwarłem Łojasiewicza gdzie znajdujemy twierdzenie, że zbieżność niemal jednostajna implikuje zbieżność wg miary. Tu oczywiście o takiej zbieżności nie można mówić. Nasze \(\displaystyle{ f_n}\) są ze sfery jednostkowej w normie supremum.

[mwrooo]

Zadałem to pytanie w tym dziale, ale i tak rozpatruję to w ramach probabilistyki. Tak że wszystko tam jest "ładnie"

[szw1710]

Akurat to jest bardziej teoria miary więc wybrałeś dobry dział.

[Wasilewski]

szw1710, czasem zdarzy mi się jeszcze tutaj zajrzeć.

Faktycznie dla miar probabilistycznych sytuacja jest dużo lepsza. W ogólnym przypadku zbieżność prawie wszędzie implikuje jedynie lokalną zbieżność względem miary.

A przytoczone twierdzenie z Łojasiewicza jest fałszywe: przecież mój ciąg jest niemal jednostajnie zbieżny do zera. Jak wezmę dowolny zbiór zwarty, to dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jest on zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\) i funkcja jest wtedy stale równa \(\displaystyle{ 0}\). Chyba że u Łojasiewicza jest po prostu zbieżność jednostajna.

[szw1710]

Ja nie doczytałem. Zbieżność prawie jednostajna to spełnienie warunku z tw. Jegorowa. A ja sobie utożsamiłem nazwę ze zbieżnością niemal jednostajną. Szczegóły: Łojasiewicz, str. 123-124.