Granica funkcji z wartością bezwzględną

[student1543]

Cześć,
Mam pytanie w sprawie wartości bezwzględnej w granicach. Dlaczego jeżeli mam granice lewostronną \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) to opuszczam moduł i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-\sin x}{-x}}\) a w w innej granicy lewostronnej funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x\to -4^{-} } \frac{x}{\left| x+4\right| }}\) po podstawieniu wartości mniejszej od \(\displaystyle{ -4}\) czyli \(\displaystyle{ -4,1}\) wychodzi wartość \(\displaystyle{ 0,1}\) a nie \(\displaystyle{ -0,1}\) i zatem cała granica dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\). To są przykłady gdzie trzeba obliczyć też granice prawostronną ale z tym nie było problemu.

I jeszcze pytanie z innej beczki czy przy obliczaniu ciągłości funkcji to np gdzie mamy podane dwa punkty podjerzane o nieciągłość np \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) to w obydwu przypadkach muszą wyjść takie same wyniki że granice prawostronna i lewostronna takie same i \(\displaystyle{ f(x_0)}\) takie samo jak granice i w drugim przypadku to samo z tą samą wartością?

[Janusz Tracz]

Mam pytanie w sprawie wartości bezwzględnej w granicach. Dlaczego jeżeli mam granice lewostronną \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) to opuszczam moduł i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-\sin x}{-x}}\)

To wynika z definicji wartości bezwzględnej. Ponieważ dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{-}}\) funkcja \(\displaystyle{ \sin x}\) zbiega po wartościach ujemnych to \(\displaystyle{ \left| \sin x\right|=-\sin x}\) analogicznie z \(\displaystyle{ x}\) który zbiega tylko po ujemnych więc \(\displaystyle{ \left| x\right| =-x}\)

a w w innej granicy lewostronnej funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x\to -4^{-} } \frac{x}{\left| x+4\right| }}\) po podstawieniu wartości mniejszej od \(\displaystyle{ -4}\)czyli \(\displaystyle{ -4,1}\) wychodzi wartość \(\displaystyle{ 0,1}\) a nie \(\displaystyle{ -0,1}\) i zatem cała granica dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\).

Z tego samego powodu z definicji wartości bezwzględnej mianownik zawsze jest większy od zera więc jeśli do niego dąży to jest to "zero dodatnie" \(\displaystyle{ 0^{+}}\). Licznik dąży do \(\displaystyle{ -4}\) ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{-4}{0^+}=- \infty}\)

czy przy obliczaniu ciągłości funkcji to np gdzie mamy podane dwa punkty podjerzane o nieciągłość np 2 i 1 to w obydwu przypadkach muszą wyjść takie same wyniki że granice prawostronna i lewostronna takie same i \(\displaystyle{ f(x_0)}\) takie samo jak granice i w drugim przypadku to samo z tą samą wartością?

Ciągłości się nie oblicza, ciągłość się sprawdza ale to drobiazg. Nie do końca rozumiem pytanie bo jeśli masz 2 różne punkty w których badasz ciągłość to aby w tych punktach funkcja była ciągła to musi zajść:

\(\displaystyle{ \left\{ \lim_{x \to x_1}f(x)=f(x_1)\right\} \Leftrightarrow \left\{\lim_{x \to x_1^{-}}f(x)=\lim_{x \to x_1^{+}}f(x)=f(x_1) \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \lim_{x \to x_2}f(x)=f(x_2)\right\} \Leftrightarrow \left\{\lim_{x \to x_2^{-}}f(x)=\lim_{x \to x_2^{+}}f(x)=f(x_2) \right\}}\)

Ale niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\) jeśli o to pytasz.

[Belf]

Dla pierwszej granicy możesz skorzystać z faktu:

\(\displaystyle{ \frac{|\sin x|}{|x|}=\left| \frac{\sin x}{x}\right|}\)

a granica pod modułem jest równa \(\displaystyle{ 1}\) , bez wzgledu na to, z której strony \(\displaystyle{ x}\) zmierza do \(\displaystyle{ 0}\).

[student1543]

Janusz Tracz, no to jak mianownik ma byc zawsze większy od zera to czemu w przykładzie z sinusem mianownik jest ujemny? Tego nie rozumiem.

A co do drugiego pytania to kiedy funkcja jest ciągła jeżeli sprawdzam dwa punkty? Kiedy w obu sprawdzeniach wyjdzie to samo czy moze w jednym sprawdzeniu moze wyjsc np nieskończoność a w drugim -nieskończoność ?

Belf, znam ten wzór ale chcialem innym sposobem zrobić

[Belf]

Nie do końca wiadomo , o co pytasz.
Janusz Tracz Ci wyjaśnił,że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\) z lewej strony, to \(\displaystyle{ \sin x}\) jest ujemny i zgodnie z definicją
modułu: \(\displaystyle{ |\sin x| = - \sin x}\).
Podobnie jest z \(\displaystyle{ x}\) , gdy spojrzysz na funkcję : \(\displaystyle{ f(x) = x}\) , to zobaczysz,że gdy \(\displaystyle{ x}\) dąży do zera
od lewej strony, to zmierza po wartościach ujemnych, stąd na tej samej zasadzie: \(\displaystyle{ |x| = - x}\)

Co do drugiego pytanie, czy chodzi Ci o badanie ciągłości funkcji w dwóch różnych punktach ?

[student1543]

Belf, no to jakby \(\displaystyle{ \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\)dążył do \(\displaystyle{ -4^{-}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie byłyby ujemne? Dobrze to rozumiem? Ze to tylko tyczy się zera ujemnego?

[Belf]

Teraz to ja już też się zgubiłem. Co to znaczy: \(\displaystyle{ \frac{|\sin x|}{|x|}}\)dązy do:\(\displaystyle{ -4^{-}}\) ?

[student1543]

Belf, chodzi o granice ze dąży do tej \(\displaystyle{ -4^{-}}\)

A co do ciągłości to tak, chodzi o dwa różne punkty

[Belf]

Granica dąży do -4 ?

[student1543]

Belf, tak

[Belf]

Przecież ta granica wynosi 1

[Jan Kraszewski]

Belf, no to jakby \(\displaystyle{ \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) dążył do \(\displaystyle{ -4^{-}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie byłyby ujemne? Dobrze to rozumiem? Ze to tylko tyczy się zera ujemnego?

Musisz postarać się poprawić poziom precyzji i poprawności swoich wypowiedzi, bo to, co piszesz, wygląda słabo, niespecjalnie ma sens i raczej nie wiadomo, o co chodzi.

I zapamiętaj sobie, że granica nigdy nigdzie nie dąży!

JK