równanie z wartością bezwzględną
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
równanie z wartością bezwzględną
Jak rozwiązać to równanie \(\displaystyle{ 6-\left| 4-x\right| =\left| 2-3x\right|}\) metodą algebraiczną używając tego wzoru: \(\displaystyle{ \left| x+y\right| \le \left| x\right| +\left| y\right|}\)?
Inne podobne równania tak rozwiązywałem i wychodziło dobrze, bo odpowiedzią były przedziały, ale tutaj powinny wyjść dwie konkretne liczby, więc jak to zrobić tym sposobem jeśli na końcu wychodzi \(\displaystyle{ 3 \ge x \ge 0}\), czyli przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0,3\right\rangle}\)? Wiem jak to zrobić innym sposobem, ale interesuje mnie właśnie ten
Inne podobne równania tak rozwiązywałem i wychodziło dobrze, bo odpowiedzią były przedziały, ale tutaj powinny wyjść dwie konkretne liczby, więc jak to zrobić tym sposobem jeśli na końcu wychodzi \(\displaystyle{ 3 \ge x \ge 0}\), czyli przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0,3\right\rangle}\)? Wiem jak to zrobić innym sposobem, ale interesuje mnie właśnie ten
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie z wartością bezwzględną
Użycie nierówności do rozwiązywania równań wydaje się być rozwiązaniem mocno nietypowym.
Rozbij prostą na trzy przedziały (mam nadzieję, że wiesz o jakich przedziałąch mówię), w każdym zastosuj definicję wartości bezwzględnej i rozwiąż otrzymane równania.
Rozbij prostą na trzy przedziały (mam nadzieję, że wiesz o jakich przedziałąch mówię), w każdym zastosuj definicję wartości bezwzględnej i rozwiąż otrzymane równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: równanie z wartością bezwzględną
Szczerze to nie wiema4karo pisze:Rozbij prostą na trzy przedziały (mam nadzieję, że wiesz o jakich przedziałąch mówię)
EDIT
jednak wiem, ale to już jest inny sposób i inny wzór...
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 19:00 przez Jmoriarty, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: równanie z wartością bezwzględną
Szczerze to nie wiedziałem nawet, że ten wzór jest z nierówności trójkąta. Miałem ten wzór na lekcji tylko z wykorzystaniem jako jeden ze sposobów rozwiązywania takich równań. Po prostu chciałem wiedzieć, jeśli jest to jeden ze sposobów, to powinien wyjść nim taki sam wynik jak innym sposobem i się zastanawiałem dlaczego nie wychodzi to samo. To co mi wyszło niby nie kłamie, bo \(\displaystyle{ x}\) faktycznie jest większy/równy zeru i mniejszy/równy od trzech, bo odpowiedź to \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0;2\right\}}\), a na wikipedii z nierówności trójkąta wyczytałem, że ten wzór, który podałem wykorzystuje się "aby uzyskać jak najlepsze oszacowanie sumy dwóch liczb za pomocą ich wielkości", więc nie da się otrzymać tym wzorem tego samego dokładnego wyniku (jeśli nie jest on przedziałem), zawsze wyjdzie nierówność?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie z wartością bezwzględną
A możesz podać przykład równania, które rozwiązales przy użyciu tej nierówności (oczywiście razem z rozwiązaniem)?
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: równanie z wartością bezwzględną
Tak. Np. równanie \(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =4}\)
Według wzoru
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \ge \left| x-1+x+3\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| + \left| x+3\right| \ge \left| 2x+2\right|}\)
Za lewą stronę równania podstawiam \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =4}\), więc
\(\displaystyle{ 4 \ge \left| 2x+2\right|}\)
\(\displaystyle{ -4 \le 2x+2 \le 4}\)
...po przekształceniach będzie
\(\displaystyle{ -3 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -3;1\right\rangle}\)
Taka jest odpowiedź, bo tutaj \(\displaystyle{ x}\) jest przedziałem.
Według wzoru
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \ge \left| x-1+x+3\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| + \left| x+3\right| \ge \left| 2x+2\right|}\)
Za lewą stronę równania podstawiam \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =4}\), więc
\(\displaystyle{ 4 \ge \left| 2x+2\right|}\)
\(\displaystyle{ -4 \le 2x+2 \le 4}\)
...po przekształceniach będzie
\(\displaystyle{ -3 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -3;1\right\rangle}\)
Taka jest odpowiedź, bo tutaj \(\displaystyle{ x}\) jest przedziałem.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: równanie z wartością bezwzględną
No to szczęśliwy zbieg okoliczności. Spróbuj w ten sam sposób rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =2}\)
albo
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =6}\).
JK
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =2}\)
albo
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =6}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: równanie z wartością bezwzględną
Czyli po prostu ten wzór wykorzystuje się do rozwiązywania (m.in.) nierówności, a nie do równań z wartością bezwzględną?
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: równanie z wartością bezwzględną
W nierównościach też nie. Przecież stosując ten wzór tracisz jakąś informację.
Jeżeli podobnie jak równanie powyżej będziesz próbował rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \le 2,}\)
to też dostaniesz złą odpowiedź.
JK
Jeżeli podobnie jak równanie powyżej będziesz próbował rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \le 2,}\)
to też dostaniesz złą odpowiedź.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: równanie z wartością bezwzględną
Bad luck ...
To w ogóle nie jest sposób. Stwierdzenie "można tego używać w tak małej ilości przykładów" jest nieprawdziwe - jego w ogóle nie można używać w tym celu. Żebyś mógł go używać (nawet w niewielu przykładach) musiałbyś PRZED rozpoczęciem rozwiązywania wiedzieć, że akurat w tym przykładzie możesz go wykorzystać. A tego przecież nie wiesz.
Ogólnie jest tak, że stosując tego typu "metody" otrzymujesz nadzbiór zbioru rozwiązań.
JK
To w ogóle nie jest sposób. Stwierdzenie "można tego używać w tak małej ilości przykładów" jest nieprawdziwe - jego w ogóle nie można używać w tym celu. Żebyś mógł go używać (nawet w niewielu przykładach) musiałbyś PRZED rozpoczęciem rozwiązywania wiedzieć, że akurat w tym przykładzie możesz go wykorzystać. A tego przecież nie wiesz.
Ogólnie jest tak, że stosując tego typu "metody" otrzymujesz nadzbiór zbioru rozwiązań.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: równanie z wartością bezwzględną
Właśnie, uświadomiłem to sobie między postami, ale przez to że nauczyciel podał ten "sposób" zastanawiałem się nad tym głębiej, a teraz szczerze nie widzę sensu trochę jakby mieszania nam w głowie, bo nierówności trójkąta nie będzie nawet w tej klasie.
No nic, to dziękuję za pomoc
No nic, to dziękuję za pomoc