Zbiory otwarte i metryki

[Wiesiek7]

Witajcie Mam kilka pytań z topologii:

1. Niech \(\displaystyle{ d(x,y)}\) będzie metryką euklidesową. Weźmy \(\displaystyle{ p(x,y)=(x,0)}\). Okreslamy metrykę rzeka:

\(\displaystyle{ d_{r}(a,b)= \begin{cases} d(a,b), &\text{ jeśli } p(a)=p(b)
\\ d(a,p(a))+d(p(a),p(b))+d(p(b),b) &\text{w.p.p}\end{cases}}\)

Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w przestrzeni liczb rzeczywistych z metryką rzeka, wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie \(\displaystyle{ U}\) z każdą prosta pionową jest otwarte w topologii euklidesowej tej prostej, oraz jeśli \(\displaystyle{ a=(t,0) \in U}\), to \(\displaystyle{ U}\) zawiera pewną kulę euklidesową o środku w \(\displaystyle{ a}\).

Ogólnie jest to widoczne, tylko mam problem z formalnym dowodem tego. Mógłby mi ktoś przedstawić dowód albo przynajmniej szkic?

2. Niech \(\displaystyle{ f: [0,+ \infty ] \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie niemalejącą funkcją wklęsłą taką, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) i \(\displaystyle{ f(u)>0}\) dla \(\displaystyle{ u>0}\). Weźmy metrykę \(\displaystyle{ d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}\), gdzie \(\displaystyle{ d(x,y)}\) jest dowolną metryką. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w zerze, to każdy zbiór w przestrzeni z metryką \(\displaystyle{ d_{f}}\) jest otwarty.

3. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie zbiorem niemalejących funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f: [0,1] \rightarrow [0,1]}\), spełniających warunek \(\displaystyle{ f(0)=0, f(1)=1}\). Niech \(\displaystyle{ a(f)=\inf \left\{ s: f(s)=1\right\} , b(f,g)=\inf \left\{ s:f(s) \neq g(s)\right\}}\) oraz dla \(\displaystyle{ f,g \in M}\),

\(\displaystyle{ d(f,g)=\begin{cases} a(f)-b(f,g)+a(g)-b(f,g) &\text{ jeśli } f \neq g \\ 0 &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}}\)

Które ze zbiorów są otwarte w przestrzeni \(\displaystyle{ (M,d)}\)?
\(\displaystyle{ A=\left\{ f \in M: f( \frac{1}{2} )> \frac{1}{2} \right\}
B=\left\{ f \in M: f( \frac{1}{2} )< \frac{1}{2} \right\}
C=\left\{ f \in M: f( \frac{1}{2} )= \frac{1}{2} \right\}}\)

Mi się wydaje, że wszystkie trzy zbiory są otwarte, ale czynnik psychologiczny mówi mi, ze się mylę

Proszę bardzo o pomoc. Z góry dziękuję.

[Premislav]

Czy w zadaniu 2. założenie o wklęsłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest istotne? Rozwiązywałem sobie to zadanie i wyszło mi, że nie jest, co wzbudziło mój niepokój.

-- 15 lis 2017, o 00:59 --

No to mały szkic:
1. Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna i nieciągła w zerze (zaś \(\displaystyle{ f(0)=0}\)), to istnieje ciąg
\(\displaystyle{ (u_n)}\) liczb dodatnich zbieżny do zera i taki, że dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c>0}\) i każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ f(u_n)\ge c}\)
2. Ale stąd płynie wniosek, że dla każdego \(\displaystyle{ u>0}\) mamy \(\displaystyle{ f(u)\ge c>0}\), ponieważ z założenia funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca.
3. Zatem jeśli \(\displaystyle{ x\neq y,}\) to \(\displaystyle{ d_f(x,y) \ge c}\), a stąd płynie wniosek, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\)(\(\displaystyle{ (X, d)}\) przestrzeń metryczna) zbiór \(\displaystyle{ X\setminus\left\{ x\right\}}\)
jest domknięty w \(\displaystyle{ \left( X, d_f\right)}\), czyli jego dopełnienie, równe \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\), jest zbiorem otwartym.
Nie widzę tu błędu i w żaden sposób nie skorzystałem z wklęsłości, ale to się wydaje zbyt łatwe.-- 15 lis 2017, o 01:04 --A, no i jeszcze istotne jest, że \(\displaystyle{ f}\) jest określona na zbiorze \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), dlatego też mogę dobrać ciąg \(\displaystyle{ u_n>0}\) j.w. ale to uznałem za oczywiste.

[a4karo]

Wkleslosc just potrzebna po to, żeby \(\displaystyle{ d_f}\) była metryką.
Gdy granicą w zerze nie jest zero, to jest ona metryką dyskretną.

[Premislav]

No tak, racja, przeoczyłem to, że bez tego warunku nie mamy nawet metryki,
Ale ja jestem głupi.