Granice ciągów

[Sansi]

Mam problem z wynikami następujących granic

1. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{125+ 5^{n} }}\)
Z moich obliczeń (zapewne błędnych) wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{125} = 1}\), a \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ 5^{n} } =5}\)
\(\displaystyle{ 1+5=6}\) a wynik ma być \(\displaystyle{ 5}\)

2. Nie mam pomysłu na taką granicę
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n}+ 7^{n} }{ 4^{n}-3 \cdot 7^{n} }}\)
Twierdzenie o trzech ciągach? Tylko jak? Wyciąganie przed nawias? Jeśli tak to chyba nie widzę dobrze czego.

3. \(\displaystyle{ \frac{2n+3}{5}}\)
Niby \(\displaystyle{ + \infty}\) ale wydaje mi się, że niepotrzebie zostaje mi \(\displaystyle{ 5}\) w mianowniku. Złe wrażenie?

[Janusz Tracz]

1) Tak nie wolno bo przecież \(\displaystyle{ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}}\) !

Można to zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{125+5^n}=5 \cdot \sqrt[n]{ \frac{125}{5^n}+1 } \rightarrow 5}\)

2) Można z 3 ciągów można i bez. Ja proponuję wyciągnąć \(\displaystyle{ 7^n}\) z licznika i mianownika.

\(\displaystyle{ \frac{2^n+7^n}{4^n-3 \cdot 7^n}= \frac{7^n\left( \left( \frac{2}{7} \right)^n+1\right) }{7^n\left( \left( \frac{4}{7} \right)^n-3 \right) } \rightarrow - \frac{1}{3}}\).

3)

Niby \(\displaystyle{ + \infty}\)ale wydaje mi się, że niepotrzebie zostaje mi 5 w mianowniku.

To jest \(\displaystyle{ + \infty}\) a \(\displaystyle{ 5}\) nigdzie nie zostaje, nie do końca rozumiem pytanie o co chodzi z tą \(\displaystyle{ 5}\).

[Sansi]

1) Tak nie wolno bo przecież \(\displaystyle{ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}}\) !

Można to zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{125+5^n}=5 \cdot \sqrt[n]{ \frac{125}{5^n}+1 } \rightarrow 5}\)

Ok to mam błąd w skrypcie bo na wydruku znak równości nie jest przekreślony. Mam, że własność zachodzi.
Nadal jednak rozwiązanie nie do końca rozumiem.

Natomiast w przypadku 2

2) Można z 3 ciągów można i bez. Ja proponuję wyciągnąć \(\displaystyle{ 7^n}\) z licznika i mianownika.

\(\displaystyle{ \frac{2^n+7^n}{4^n-3 \cdot 7^n}= \frac{7^n\left( \left( \frac{2}{7} \right)^n+1\right) }{7^n\left( \left( \frac{4}{7} \right)^n-3 \right) } \rightarrow - \frac{1}{3}}\).

wynik jest niepoprawny. Mi również wychodzi za każdym razem \(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\) ale wynik poprawny to \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}}\)

w punkcie 3 liczyłam to następująco

\(\displaystyle{ \frac{2n+3}{5}= \frac{n\left( 2+ \frac{3}{n} \right) }{5}= \frac{2n}{5}}\) czyli licznik ciągle idzie w górę ku nieskończoności ale jakoś wydaje mi się, że ta 5 go zmniejsza. Tylko, że to chyba chwilowe zaćmienie mózgu, a nie faktyczny problem także ok dziękuję.

[Janusz Tracz]

Ok to mam błąd w skrypcie bo na wydruku znak równości nie jest przekreślony. Mam, że własność zachodzi.

Błędy w druku się zdarzają. Ten jest dość duży bo wprowadza w błąd czytelnika.
Łatwo jednak to zweryfikować.

\(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{2}=2,82...}\)

Widać że \(\displaystyle{ 2 \neq 2,82...}\)

wynik jest niepoprawny. Mi również wychodzi za każdym razem \(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\) ale wynik poprawny to \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}}\)

A może wynik w skrypcie jest błędny?

w punkcie 3 liczyłam to następująco

\(\displaystyle{ \frac{2n+3}{5}= \frac{n\left( 2+ \frac{3}{n} \right) }{5}= \frac{2n}{5}}\)

No to źle liczyłeś bo równość \(\displaystyle{ \frac{n\left( 2+ \frac{3}{n} \right) }{5}= \frac{2n}{5}}\) jest fałszywa.
W podpunkcie 3 można od razu napisać \(\displaystyle{ \infty}\) bo \(\displaystyle{ \frac{2n+3}{5}= \frac{2}{5}n+ \frac{3}{5}}\) Widać że wyrazy ciągu są na prostej idącej do \(\displaystyle{ \infty}\).

[Sansi]

Zgłaszałam ale wykładowca twierdzi, że wyniki w skrypcie są poprawne. Inne się owszem zgadzają jak dotąd

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 5 \cdot \sqrt[n]{ \frac{125}{5^n}+1 } \rightarrow 5}\)

Ja bym jednak wolał

\(\displaystyle{ 5=\sqrt[n]{5^{n} }\le\sqrt[n]{125+ 5^{n} }\le\sqrt[n]{5^n+ 5^{n} }=5\cdot\sqrt[n]{2}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\)

i z trzech ciągów.

Zgłaszałam ale wykładowca twierdzi, że wyniki w skrypcie są poprawne.

No to wykładowca się myli, bo w 2) poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ -\frac13}\).

JK