Napisać sumy częściowe podanego niżej szeregu i znaleźć...

[Artut97]

Napisać sumy częściowe podanego niżej szeregu i znaleźć jego granicę.

\(\displaystyle{ \frac{3}{1^{2}\cdot 2^{2}}+\frac{5}{2^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2}\cdot 4^{2}}+...\frac{2n+1}{n^{2}\cdot \left( n+1\right) ^{2}}+...}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{3}{1^{2}\cdot 2^{2}}+\frac{5}{2^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2}\cdot 4^{2}}+...\frac{2n+1}{n^{2}\cdot \left( n+1\right) ^{2}}+...=\\=
\frac{2^2-1^2}{1^{2}\cdot 2^{2}}+\frac{3^2-2^2}{2^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{4^2-3^2}{3^{2}\cdot 4^{2}}+...\frac{(n+1)^2-(n)^2}{n^{2}\cdot \left( n+1\right) ^{2}}+...=\\
= \frac{1}{1^2}- \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}- \frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}- \frac{1}{4^2}+ ....+\frac{1}{n^2}- \frac{1}{(n+1)^2}=...}\)

[Artut97]

Mam problem jeszcze z tym.

\(\displaystyle{ \ln\frac{1}{4}+\ln\frac{2\cdot 4}{1\cdot 7}+\ln\frac{3\cdot 7}{2\cdot 10}+...}\)

Wyznaczyłem wzór na n-ty wyraz ciągu (odrzucając pierwszy wyraz \(\displaystyle{ \ln\frac{1}{4}}\)):

\(\displaystyle{ a_{n}=\ln\left( 1+\frac{1}{n(3n+4)}\right)}\)

Tylko nie wiem czy w dobrą stronę zmierzam, bo nie wiem co dalej.

[kerajs]

Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ \ln\frac{1}{4}+\ln\frac{2\cdot 4}{1\cdot 7}+\ln\frac{3\cdot 7}{2\cdot 10}+...+\ln\frac{n\cdot (3n-2)}{(n-1)\cdot (3n+1)}+...=\\=
\ln\frac{1}{4}+\ln\frac{2}{1}+\ln\frac{4}{7}+\ln\frac{3}{2}+\ln\frac{7}{10}+...+\ln\frac{n}{n-1}+\ln\frac{3n-2}{3n+1}+...=\\=
\left( \ln\frac{1}{4}+\ln\frac{4}{7}}+\ln\frac{7}{10}+...+\ln\frac{3n-2}{3n+1}+...\right) +\\+(\ln\frac{2}{1}+\ln\frac{3}{2}+...+\ln\frac{n}{n-1}+...)=\\=
(\ln 1-\ln 4+\ln 4-\ln 7+\ln 7-\ln 10+...+\ln (3n-2)-\ln (3n+1)+...)+\\
+(\ln 2-\ln 1+\ln 3-\ln 2+\ln 4-\ln 3+...+\ln n-\ln (n-1)+...)=\\=
(\ln 1-\ln 4+\ln 4-\ln 7+\ln 7-\ln 10+....+\ln (3n-2)-\ln (3n+1)+...)+\\+(-\ln 1+\ln 2-\ln 2+\ln 3-\ln 3+\ln 4+...-\ln (n-1)+\ln n+...)=\\=-\ln (3n+1)+\ln n= \lim_{ n\to \infty } \ln \frac{n}{3n+1} =-\ln 3}\)

[Artut97]

Następny przykład:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[2n+1]{x}- \sqrt[2n-1]{x} \right)}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ - \sqrt{x}+ \sqrt[3]{x}- \sqrt[3]{x}+ \sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{x}+...+\sqrt[2n-1]{x}- \sqrt[2n-1]{x}+\sqrt[2n+1]{x}-...= -\sqrt{x}+\sqrt[2n+1]{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( -\sqrt{x}+\sqrt[2n+1]{x}\right)=-\sqrt{x}+1}\)

Natomiast odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ S=1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\);
\(\displaystyle{ S=-1}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\);
\(\displaystyle{ S=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\).

Rozumiem, że druga odpowiedź dla \(\displaystyle{ x<0}\) nie ma sensu, lecz nie wiem czy nie powinna mi wyjśc suma \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sqrt{x}=\sqrt[2]{x}}\), więc nie powinien się znaleźć w tej sumie.
Powinna ona wyglądać tak:
\(\displaystyle{ -x+\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{x}+\ldots}\) i tak dalej.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( -\sqrt{x}+\sqrt[2n+1]{x}\right)=-\sqrt{x}+1}\)

Natomiast odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ S=1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\);
\(\displaystyle{ S=-1}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\);
\(\displaystyle{ S=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\).

Rozumiem, że druga odpowiedź dla \(\displaystyle{ x<0}\) nie ma sensu, lecz nie wiem czy nie powinna mi wyjśc suma \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).

Raczej:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( -x+\sqrt[2n+1]{x}\right)=-x+sgn(x)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ S=-x+1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\);
\(\displaystyle{ S=-x-1}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\);
\(\displaystyle{ S=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\).