Wszystkie wielomiany spełniające równość

[Ogorek00]

Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W}\) takie, że
\(\displaystyle{ (x-1)W(x+1)=(x+2)W(x)}\)

[Premislav]

Połóżmy \(\displaystyle{ x=1}\), co daje \(\displaystyle{ W(1)=0}\), następnie \(\displaystyle{ x=-2}\), co daje nam \(\displaystyle{ W(-1)=0}\), potem z \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ W(0)=0}\).
Czyli \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)x(x+1)P(x)}\), a wstawiając to do wyjściowego równania, mamy
\(\displaystyle{ (x-1)x(x+1)(x+2)P(x+1)=(x-1)x(x+1)(x+2)P(x)}\),
stąd po chwili refleksji widzimy, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) poza \(\displaystyle{ -2, -1, 0, 1}\) musi być \(\displaystyle{ P(x+1)=P(x)}\). Stąd możemy wywnioskować, że \(\displaystyle{ P(x)\equiv c}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c}\) (\(\displaystyle{ P'(x)}\) też jest wielomianem i skoro \(\displaystyle{ P(x)=P(x+1)}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to \(\displaystyle{ P'(x)}\) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, zatem jest wielomianem zerowym).
Odpowiedź: \(\displaystyle{ W(x)=c(x-1)x(x+1), \ c \in \RR}\)-- 13 lis 2017, o 01:44 --Ciekawe czy istnieje ładne uzasadnienie bez rachunku różniczkowego. Chociaż ja tam rachunek różniczkowy lubię.

[a4karo]

[Ciekawe czy istnieje ładne uzasadnienie bez rachunku różniczkowego. Chociaż ja tam rachunek różniczkowy lubię

Pewnie, że istnieją
1 nie ma dużo wielomianow okresowych?
2 jak wielomian jest ograniczony to...
3 wielomian niezerowego stopnia jest od pewnego miejsca ściśle monotoniczny

[Premislav]

No tak, racja, dziękuję, nie pomyślałem chyba wystarczająco długo nad tym.

[a4karo]

A najprostsze to chyba takie: leżeli \(\displaystyle{ \deg P=n}\) to \(\displaystyle{ \deg (P(x+1)-P(x))=n-1}\) i vice versa