Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 21:52

Dane:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 , a_{n+1} = - \frac{1}{2} a_{n}^2 + 2 a_{n}}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 lis 2017, o 21:53

Najpierw spróbuj zbadać doświadczalnie charakter tego ciągu. Wylicz, kilka (na komputerze kilkadziesiąt) wyrazów i zobacz jaka jest tendencja. A potem idź za tym.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 22:10

Wsk. Popatrz na ciąg \(\displaystyle{ b_n=2-a_n}\). Jakie równanie rekurencyjne on spełnia?

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 22:20

nie do końca rozumiem... jakie jest to równanie ? każdy n-ty element ciągu bn = 2 - n-ty element ciagu an. Jest tu jakieś charakterystyczne równanie ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 22:25

Nie. Po prostu zdefiniuj sobie nowy ciąg w taki sposób. I spróbuj:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=2-a_{n+1}=2+\frac{a_n^2}{2}-2a_n=2+\frac{(2-b_n)^2}{2}-2(2-b_n)=...}\)
Wylicz do końca i zobacz, co wyjdzie.

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 22:38

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( b_{n})^2}\) ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 22:41

Ano własnie. \(\displaystyle{ b_1=???}\). Zachowanie ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) bardzo łatwo zbadać. Potrafisz?

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 23:09

skąd wiadomo ile równa się \(\displaystyle{ b_1}\) ? Mamy:
\(\displaystyle{ b_{2} = \left( \frac{1}{2} \right) ^1 \left( b_{1} \right) ^2 ; \\
b_{3} = \left( \frac{1}{2} \right) ^3 \left( b_{1} \right) ^4 ;\\
b_{4} = \left( \frac{1}{2} \right) ^7 \left( b_{1} \right) ^8}\) ,
jest tu widoczna rekurencja nie potrafię jednak jej zgrabnie opisać...

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 23:21

A wiesz ile to jest \(\displaystyle{ a_1}\)?

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 23:33

\(\displaystyle{ a_{1}}\) w ciągu, który przywołałem w treści ? równa się 1... ale co to ma do tego nowego ciągu?...

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 23:40

a jak jest zdefiniowany nowy ciąg?

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 12 lis 2017, o 23:50

\(\displaystyle{ b_n = 2 - a_n , b_1 = 2 - a_1 , b_2 = 2 - a_2}\) itd. co to daje ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 23:56

Skoro \(\displaystyle{ a_1=1}\) i \(\displaystyle{ b_1=2-a_1}\),to \(\displaystyle{ b_1=?}\)

jaodryska · Post autor: **jaodryska** » 13 lis 2017, o 00:01

no oczywiście że \(\displaystyle{ 1}\), to oznacza że \(\displaystyle{ b_2 = 2}\) itd ? jeśli tak to jak to wpływa na rozwiązanie ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lis 2017, o 00:03

A niby dlaczego? Przecież \(\displaystyle{ b_2=b_1^2/2}\)

Matematyka.pl