Granica z logarytmem naturalnym

[student1543]

Cześć, nie mam pojęcia jak zabrać się za ten przykład. Jakieś wskazówki?

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } n\ln \left( 1+ \frac{4}{n} \right)}\)

[Premislav]

Tak. Jest taka znana granica:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} =1}\), może kojarzysz. Z definicji Heinego granicy funkcji wynika więc, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ 0}\), który ma niezerowe wyrazy, zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln\left( 1+a_n\right) }{a_n} =1}\).
Ponadto mamy
\(\displaystyle{ n\ln \left( 1+\frac 4 n\right) =4\cdot \frac{\ln\left( 1+\frac 4 n\right) }{ \frac{4}{n} }}\)

[student1543]

Premislav, znam ten wzór i tak na początku zrobiłem i mi wyszło 4.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n \cdot \frac{ \ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} } \cdot \frac{4}{n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} } \cdot \frac{4n}{n} = 1 \cdot 4=4}\)

Tylko napisałem z tego względu, że we wzorze z tym logarytmem jest t czy tam x, które dąży do 0, a w zadaniu mam napisane, że do nieskończoności. I myślałem, że nie można użyć tego wzoru. Wiem tylko, że jak pokaże, że to co jest za limesem - czyli działanie jakieś - dąży do 0 to można użyć tego wzoru.

[Premislav]

Można. Przyjrzyj się definicji Heinego granicy funkcji:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji

Zatem, skoro \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} =1}\) i ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN^+}}\) określony przez \(\displaystyle{ a_n=\frac 4 n}\) jest zbieżny do zera, to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln(1+a_n)}{a_n}=1}\)

[a4karo]

A znasz może taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)?

[student1543]

Premislav, a co z tym n przed tym działaniem? ono dąży do nieskończoności?
a4karo, o ile się nie mylę, to jest ta granica co w wyniku daje "e"

[Premislav]

Nie rozumiem pytania. Przecież to się skraca.

[student1543]

Premislav, bo skoro \(\displaystyle{ \frac{4}{n}}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\), to przy sprawdzeniu, \(\displaystyle{ n}\) bedzie nieskonczonoscią i jak przemnożymy to wyjdzie \(\displaystyle{ \mbox{nieskończoność} \cdot 1}\) czyli nieskończoność, no i wtedy myślałem, że tego wzoru nie można użyć, bo nie dąży działanie do zera. A tego wzoru można użyć w każdym przypadku np. \(\displaystyle{ x}\) dąży do \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ x}\) dązy do \(\displaystyle{ -2}\) itd?

[Premislav]

1) Działanie nigdzie nie dąży.
2) Gdzie tu masz jakąś nieskończoność:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} } \cdot \frac{4n}{n}}\)

?
Chyba po prostu źle spojrzałeś, \(\displaystyle{ n}\) w liczniku skróci się z tym w mianowniku i masz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \left( 1+\frac 4n\right) }{\frac 4 n} \cdot 4}\)


Nie, ten wzór stosuje się tylko dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\).
Tj. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} =1}\)
i dla każdego innego \(\displaystyle{ x_0 \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{\ln (1+x)}{x} {\red \neq }1}\)

[student1543]

Premislav, sorry, pomyliło mi się z granicą funkcji.

Czyli jakby było \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n\ln \left( 1 + 4n \right)}\) to już nie można by było tego wzoru użyć?

[Premislav]

Czyli jakby było \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } nln(1 + 4n)}\) to już nie można by było tego wzoru użyć?

To prawda, nie można by było.

[student1543]

A jakby można wtedy było tę granicę obliczyć?

[a4karo]

Wrócę do swojego:

\(\displaystyle{ n\ln\left(1+\frac{4}{n}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n}{4}}\right)^n=\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n}{4}}\right)^{\frac{n}{4}\cdot 4}\)

Man nadzieję, że widać co dalej...

[student1543]

a4karo, to przeniesienie n do potęgi to z zasady o logarytmach?
i zrobiłem i ma wyjść \(\displaystyle{ e^{4}}\) ? o to w tym chodzi?

[a4karo]

ma wyjśc \(\displaystyle{ 4}\). Nie zapominaj o logarytmie.