Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

[lolo666]

Mam wykazać, że ten zbiór jest nieprzeliczalny. Wiem, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, natomiast zbiór liczb rzeczywistych nie jest - bezpośredniego tego nie dowodziłem, a bardziej skorzystałem z zadania, w którym miałem dowieść, że zbiór (0,1) jest nieprzeliczalny (z kolei nie rozumiem za bardzo tego dowodu, co na ćwiczeniach dowodziliśmy).
Mam pomysł, żeby skorzystać z poprzednich zadań - liczby wymierne i przedział (0,1), a potem pokazać, że (właściwie to pytam, bo moim celem będzie pokazać, że hipoteza ta jest fałszywa), że jeśli zbiór liczb niewymiernych jest przeliczalny i zbiór liczb wymiernych również, to zbiór liczb rzeczywistych również powinien być, co jest oczywiście fałszywe.

I moje pytanie: czy dobrze rozumuję czy ten sposób rozwiązywania zadań jest błędny (jeśli jest, bardzo bym chciał o jakieś wskazówki, jak to robić poprawnie). Bardzo chcę zdać analize, więc proszę o dobre rady, Matematycy

[szw1710]

Bardzo dobrze rozumujesz. Przez sprowadzenie do niedorzeczności czyli nie wprost.

A może zrobisz takie ćwiczenie: liczba algebraiczna to taka, która jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą algebraiczną, bo jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-2}\). Liczby \(\displaystyle{ \pi}\) oraz \(\displaystyle{ e}\) nie są algebraiczne. Spróbuj wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.

[Jan Kraszewski]

Spróbuj wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.

No jak na analizę to dość trudne zadanie...

JK

[szw1710]

Przeoczyłem. Owszem, to podchodzi bardziej pod teorię mnogości, ale nie jest aż tak trudne.

[Jan Kraszewski]

Aż tak trudne nie jest, ale wymaga trochę przygotowania.

JK

[a4karo]

Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?

[Jan Kraszewski]

Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?

Nie, ale zadanie zostało w zasadzie zrobione przez pytającego.

JK

[lolo666]

Mam nadzieję, że jak tak napiszę tego typu zadanie na kolokwium, to nie będzie z tym problemu.
Co do tego ćwiczenia to może spróbuję to wykazać Pierwiastki będą zależeć od współczynników wielomianu,a jeśli współczynniki są całkowite, to zbiór tych współczynników jest przeliczalny. Więc z pierwiastkami będzie podobnie, ale mogę się mylić, czy to w tym kierunku trzeba iść w tym zadaniu.

PS. Pytanie moje polegało na tym, czy takie dowodzenie jest dobre czy może mało konkretne.

[Jan Kraszewski]

Co do tego ćwiczenia to może spróbuję to wykazać Pierwiastki będą zależeć od współczynników wielomianu,a jeśli współczynniki są całkowite, to zbiór tych współczynników jest przeliczalny. Więc z pierwiastkami będzie podobnie, ale mogę się mylić, czy to w tym kierunku trzeba iść w tym zadaniu.

W tę stronę, z tym, że w zasadzie jeszcze nie zacząłeś iść...

PS. Pytanie moje polegało na tym, czy takie dowodzenie jest dobre czy może mało konkretne.

Sam sposób jest w tym zadaniu jest dobry. W opisie należałoby dodać, że rozumujesz nie wprost.

JK

[szw1710]

Bardzo dobrze kombinujesz z tymi liczbami algebraicznymi. Dla mnie liczy się myślenie, a jak widzę, Ty umiesz pomyśleć i masz dobre intuicje.

Ale dokładnie to będzie tak: każdy wielomian niezerowy ma skończenie wiele pierwiastków. Wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele, więc i wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele. Dlatego jest przeliczalnie wiele ich pierwiastków.-- 12 lis 2017, o 22:59 --

Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?

Wiesz, że często lubię zadać ćwiczenie wokół tematu, gdy widzę, że człowiek umie myśleć. Mniejsze znaczenie ma dla mnie, że do przedmiotowego zadania to nic nie wnosi. Wnosi... wiedzę do głowy.