Pięciu pasażerów wsiada na przystanku do tramwaju złożonego z trzech wagonów. Zakładając, że każdy pasażer tym samym prawdopodobieństwem wsiada do dowolnego wagonu, obliczyć prawdopodobieństwo, że:
(a) wszyscy pasażerowie wsiądą do jednego wagonu,
(b) po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu,
(c) przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.
Proszę o sprawdzenie
(a) \(\displaystyle{ \frac{3}{3^5}}\)
(b) Mianownik tak samo jak wyżej tylko licznik \(\displaystyle{ {3 \choose 2} \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!}}\)
(c)Tutaj mianownik bez zmian a licznik \(\displaystyle{ 3+{3 \choose 2} \cdot (2^5-2)}\)
Mam wątpliwości szczególnie do c)
Pięciu pasażerów wsiada
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pięciu pasażerów wsiada
Licznik prawdopodobieństwa c) napisałeś poprawnie - ale wiesz skąd się on bierze ? - jeśli nie zbudowałeś modelu doświadczenia losowego, polegającego na losowym wsiadaniu 5 pasażerów do 3 wagonów tramwajowych?
-
choko
- Użytkownik
- Posty: 281
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Pięciu pasażerów wsiada
Co do c) to myślę tak \(\displaystyle{ 3}\) bo tyle jest możliwości aby wszyscy wsiadli w \(\displaystyle{ 1}\) wagon. Dalej wybieram \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) \(\displaystyle{ 2}\) wagony z \(\displaystyle{ 3}\) w których umieszczam osoby na \(\displaystyle{ 2^5}\) sposobów ale są dwie możliwości że zapełnią \(\displaystyle{ 1}\) wagon. Więc mam\(\displaystyle{ 3+{3 \choose 2} \cdot (2^5-2)}\).
Mianownik zawsze będzie oczwiście \(\displaystyle{ 2^5}\) w każdym podpunkcie nie?
Mianownik zawsze będzie oczwiście \(\displaystyle{ 2^5}\) w każdym podpunkcie nie?
-
choko
- Użytkownik
- Posty: 281
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Pięciu pasażerów wsiada
No bo wybieram dwa wagony powiedzmy A i B w kazdym ktos musi być więc wyrzucam sytuacje kiedy wszyscy sa w A lub wszyscy sa w B. Czyli jest ok? A co z pozostalymi pkt, b jest dobrze?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pięciu pasażerów wsiada
b)
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na losowym wsiadaniu pięciu pasażerów do trzech wagonów tramwajowych.
Zbudujmy model tego doświadczenia:
\(\displaystyle{ ( \Omega, 2^{\Omega}, P ).}\)
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.
Czym są zdarzenia elementarne?
W zadaniu mamy sytuację: ze zbioru 3 - elementowego \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) - numery wagonów tworzymy ciągi pięcioelementowe \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5),}\) przypisując każdemu pasażerowi numer wagonu.
Elementy tego ciągu mogą się powtarzać (niektórzy pasażerowie znajdą się w tym samym wagonie) oraz kolejność ustawienia jest istotna.
Zdarzeniami elementarnymi są więc pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3-elementów.
\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega: \omega = f : (1,2,3) \rightarrow (1,2,3,4,5) \}.}\)
\(\displaystyle{ | \Omega |= W_{5}^{3} = 5^{3}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)- łącznie ze zdarzeniami: pewnym i niemożliwym.
Mówimy, też że jest to zbiór wszystkich zdarzeń, dla których możemy określić prawdopodobieństwo - ( zdarzeń probabilizowalnych).
\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega}|} = \frac{1}{5^3}.}\)
Mając model probabilistyczny doświadczenia losowego- możemy obliczyć wszystkie wartości prawdopodobieństw zawartych w treści zadania.
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu".
Sprzyjających układów (ciągów) jest tyle - iloma sposobami 5 osobom przypiszemy: \(\displaystyle{ (1, 2), (2, 2), ( 3,1).}\)
\(\displaystyle{ B = \{\omega: \omega = g: (1,2,3)\rightarrow (i, j) \wedge i, j \in\{1,2,3,4,5} \}\}.}\)
Ilość tych sposobów, równa jest \(\displaystyle{ 3P_{5}^{2\times 2\times 1}}\) - ilościom permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5- elementów z dwoma powtórzeniami.
\(\displaystyle{ |B| = 3\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}.}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P( B) =\frac{| B|}{| \Omega |} = 3\cdot \frac{5!}{3^5\cdot 2!\cdot 2!\cdot 1!}= 0,37.}\)
Program R
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 37\%}\) ogólnej liczby wyników - po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu tramwajowego.
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na losowym wsiadaniu pięciu pasażerów do trzech wagonów tramwajowych.
Zbudujmy model tego doświadczenia:
\(\displaystyle{ ( \Omega, 2^{\Omega}, P ).}\)
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.
Czym są zdarzenia elementarne?
W zadaniu mamy sytuację: ze zbioru 3 - elementowego \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) - numery wagonów tworzymy ciągi pięcioelementowe \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5),}\) przypisując każdemu pasażerowi numer wagonu.
Elementy tego ciągu mogą się powtarzać (niektórzy pasażerowie znajdą się w tym samym wagonie) oraz kolejność ustawienia jest istotna.
Zdarzeniami elementarnymi są więc pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3-elementów.
\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega: \omega = f : (1,2,3) \rightarrow (1,2,3,4,5) \}.}\)
\(\displaystyle{ | \Omega |= W_{5}^{3} = 5^{3}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)- łącznie ze zdarzeniami: pewnym i niemożliwym.
Mówimy, też że jest to zbiór wszystkich zdarzeń, dla których możemy określić prawdopodobieństwo - ( zdarzeń probabilizowalnych).
\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega}|} = \frac{1}{5^3}.}\)
Mając model probabilistyczny doświadczenia losowego- możemy obliczyć wszystkie wartości prawdopodobieństw zawartych w treści zadania.
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu".
Sprzyjających układów (ciągów) jest tyle - iloma sposobami 5 osobom przypiszemy: \(\displaystyle{ (1, 2), (2, 2), ( 3,1).}\)
\(\displaystyle{ B = \{\omega: \omega = g: (1,2,3)\rightarrow (i, j) \wedge i, j \in\{1,2,3,4,5} \}\}.}\)
Ilość tych sposobów, równa jest \(\displaystyle{ 3P_{5}^{2\times 2\times 1}}\) - ilościom permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5- elementów z dwoma powtórzeniami.
\(\displaystyle{ |B| = 3\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}.}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P( B) =\frac{| B|}{| \Omega |} = 3\cdot \frac{5!}{3^5\cdot 2!\cdot 2!\cdot 1!}= 0,37.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> P = (3*factorial(5))/(3^5*factorial(2)*factorial(2)*factorial(1))
> P
[1] 0.3703704
W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 37\%}\) ogólnej liczby wyników - po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu tramwajowego.