Czym jest topologia

[max123321]

Czym intuicyjnie jest topologia?

[szw1710]

Nauką o przekształceniach ciągłych.

Bardziej obrazowo: jeśli ugniatasz kulę z plasteliny, ale jej nie rozrywasz ani nie zlepiasz, wszystko co z niej dostaniesz, uważasz za to samo. Sześcian, kula, prostopadłościan, stożek itp. Ale nie torus.

[max123321]

Ok rozumiem, ale chodziło mi o topologię związaną przestrzeniami metrycznymi. W sensie przestrzeń topologiczna i tego typu rzeczy. Intuicyjnie bardziej.

[szw1710]

Jeśli chcesz intuicji, to bynajmniej nie jest nią metryka. Ona związana jest z mierzeniem odległości, a to jest topologii obce. Tzn. nie jest naturalnym źródłem rozmyślań topologicznych. Jeśli już jest metryka, to oczywiście ona generuje topologię. Ale sama topologia, wcześniej nazywana (chyba przez Brouwera) analysis situs, jest związana z greckim τόπος - miejsce, przestrzeń. Więc to taka nauka o przestrzeni, o jej własnościach, o tym co stałe, niezmienne. Potem ujęto to w ładne słowo homeomorfizm.

Wydaje mi się, że pytając o intuicję, chcesz żeby nieco podciągnąć Cię z topologii bo to nauka trudna. A ja Ci odpowiadam o stosunku do topologii, jaki mam od czasu ukończenia studiów.

[max123321]

No dobra to jak sobie w takim razie wyobrażać topologię euklidesową?

[szw1710]

Dałbym tu spokój z zaawansowaną topologią. Najnormalniej w świecie. Odległość mierzysz... linijką czyli po linii prostej łączącej dwa punkty. To daje nam, że koła są okrągłe. Otwartość, domkniętość - można łatwo zdefiniować. Koło otwarte - bez brzegu. Domknięte - z brzegiem. Otwartymi nazwiemy takie zbiory, które są sumami kół otwartych. I zbiory otwarte mają pewne własności:

a) zbiór pusty jest otwarty (pusta suma) i cała przestrzeń jest otwarta
b) suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym
c) część wspólna skończenie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym

Na tych trzech aksjomatach zasadza się pojęcie przestrzeni topologicznej. Więc w tym aspekcie aksjomaty wzięto z geometrii. Ale dalsze rzeczy już od niej odchodzą.