Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Zastanawiałem się ostatnio nad tym, dlaczego wyżej wymieniony symbol nie jest normalną liczbą - w oparciu o aksjomaty udało mi się stworzyć coś w rodzaju uzasadnienia, ale nie jestem pewny, czy jest ono poprawne:
1. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac a b}\) nie jest częścią "języka" ciał, zdefiniujmy zatem \(\displaystyle{ \frac a b}\) jako \(\displaystyle{ ab^{-1}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{0}{0} = 0 \cdot \frac{1}{0}}\)
2. Aksjomat o elemencie odwrotnym mówi wprost, że nie istnieje odwrotność zera, więc w sumie można by na tym skończyć, ale gdyby pociągnąć to dalej:
Załóżmy, że to wyrażenie ma pewną wartość: \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 = x \Leftrightarrow 0 \cdot 1 =
0 \cdot x}\)
3. Lemat: \(\displaystyle{ 0x = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 + 0 \Leftrightarrow 1x = 1x + 0x \Leftrightarrow x = x + 0x \Leftrightarrow x + (-x) = x + (-x) + 0x \Leftrightarrow 0 = 0x}\)
4. Mamy zatem \(\displaystyle{ 0 \cdot 1 = 0 \cdot x}\). Z jednej strony mamy \(\displaystyle{ x = 1}\), z drugiej natomiast (z 3.)
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest dowolną liczbą, a więc wartość wyrażenia nie jest dobrze zdefiniowana.
Czy jest to dobry dowód?
1. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac a b}\) nie jest częścią "języka" ciał, zdefiniujmy zatem \(\displaystyle{ \frac a b}\) jako \(\displaystyle{ ab^{-1}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{0}{0} = 0 \cdot \frac{1}{0}}\)
2. Aksjomat o elemencie odwrotnym mówi wprost, że nie istnieje odwrotność zera, więc w sumie można by na tym skończyć, ale gdyby pociągnąć to dalej:
Załóżmy, że to wyrażenie ma pewną wartość: \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 = x \Leftrightarrow 0 \cdot 1 =
0 \cdot x}\)
3. Lemat: \(\displaystyle{ 0x = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 + 0 \Leftrightarrow 1x = 1x + 0x \Leftrightarrow x = x + 0x \Leftrightarrow x + (-x) = x + (-x) + 0x \Leftrightarrow 0 = 0x}\)
4. Mamy zatem \(\displaystyle{ 0 \cdot 1 = 0 \cdot x}\). Z jednej strony mamy \(\displaystyle{ x = 1}\), z drugiej natomiast (z 3.)
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest dowolną liczbą, a więc wartość wyrażenia nie jest dobrze zdefiniowana.
Czy jest to dobry dowód?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2017, o 22:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Twój sposób myślenia jest w porządku, jednak w czwartym punkcie chyba coś się nie zgadza. Dlaczego twierdzisz, że z jednej strony \(\displaystyle{ x=1}\)?
I w ogóle można by to wszystko napisać dużo szybciej
Załóżmy (tak jak to zrobiłeś), że nasze wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) ma pewną wartość, czyli że \(\displaystyle{ \frac{0}{0}=x}\).
Następnie z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0} \cdot 0 = x \cdot 0}\), czyli mamy \(\displaystyle{ 0 = x \cdot 0}\), a to zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).
Założyliśmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest pewną określoną liczba, jednak teraz widzimy, że \(\displaystyle{ x}\) może być dowolną liczbą, stąd wniosek, że nie możemy określić wartości liczby \(\displaystyle{ x}\).
I w ogóle można by to wszystko napisać dużo szybciej
Załóżmy (tak jak to zrobiłeś), że nasze wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) ma pewną wartość, czyli że \(\displaystyle{ \frac{0}{0}=x}\).
Następnie z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0} \cdot 0 = x \cdot 0}\), czyli mamy \(\displaystyle{ 0 = x \cdot 0}\), a to zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).
Założyliśmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest pewną określoną liczba, jednak teraz widzimy, że \(\displaystyle{ x}\) może być dowolną liczbą, stąd wniosek, że nie możemy określić wartości liczby \(\displaystyle{ x}\).
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
leg14, to teraz proszę o wyjaśnienie, dlaczego moje rozumowanie jest niepoprawne
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Poszukujaca, Pokazałaś :
\(\displaystyle{ jeśli \frac{0}{0}=x \Rightarrow W(x)}\) (x ma wlasnosc W)
Istotnie zachodzi \(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR} W(x)}\)
I wnioskujesz \(\displaystyle{ x}\) nei moze miec nadanej wartości. Bzdura.
To samo rozumowanie można zaprząc do wykazania, że zero nie ma określonej wartości(!):
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0=x}\)
Z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ 0=0 \cdot 0 =x \cdot 0}\). ALe
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\) dla wszystkich lczb rzeczywistych x, zatem zero nie moze miec okreslonej wartosci.
-- 11 lis 2017, o 12:10 --
Kalkulatorek, nie ma co zakładać, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0}\) ma pewną wartość, bo w dalszy mrozumowaniu korzystasz z tego, że istnieje odwrotność zera, czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 =1}\) (czyli nadajesz mu wartość jak najbardziej konkretną)
I równość \(\displaystyle{ \frac{0}{0}= 1 = \frac{1}{0}}\) jest jedyną możliwością, bo utożsamiamy ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b} ; \frac{c}{d}}\) takie, że \(\displaystyle{ ad =bc}\). Zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest zerem.
\(\displaystyle{ jeśli \frac{0}{0}=x \Rightarrow W(x)}\) (x ma wlasnosc W)
Istotnie zachodzi \(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR} W(x)}\)
I wnioskujesz \(\displaystyle{ x}\) nei moze miec nadanej wartości. Bzdura.
To samo rozumowanie można zaprząc do wykazania, że zero nie ma określonej wartości(!):
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0=x}\)
Z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ 0=0 \cdot 0 =x \cdot 0}\). ALe
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\) dla wszystkich lczb rzeczywistych x, zatem zero nie moze miec okreslonej wartosci.
-- 11 lis 2017, o 12:10 --
Kalkulatorek, nie ma co zakładać, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0}\) ma pewną wartość, bo w dalszy mrozumowaniu korzystasz z tego, że istnieje odwrotność zera, czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 =1}\) (czyli nadajesz mu wartość jak najbardziej konkretną)
I równość \(\displaystyle{ \frac{0}{0}= 1 = \frac{1}{0}}\) jest jedyną możliwością, bo utożsamiamy ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b} ; \frac{c}{d}}\) takie, że \(\displaystyle{ ad =bc}\). Zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest zerem.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Re: Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
leg14, ok, faktycznie.
No więc jak zapisałbyś to rozumowanie poprawnie?
No więc jak zapisałbyś to rozumowanie poprawnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Chyba nie da się niepoprawnego rozumowania poprawnie zapisaćPoszukujaca pisze:leg14, ok, faktycznie.
No więc jak zapisałbyś to rozumowanie poprawnie?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Re: Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Dobrze Nietrudno się jednak domyślić, że teraz stoje przed dylematem jak poprawnie uzasadnić, posługując się np aksjomatami, że symbol \(\displaystyle{ 0/0}\) jest nieoznaczony. Oto też chciałam zapytać i jak domnienam autor tematu również
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
W przypadku liczb rzeczywistych sympatycznym jest uzasadnienie z teorii granic:
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}=3}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{5x}{x}=5}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x^2}=???}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}=3}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{5x}{x}=5}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x^2}=???}\)
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?
Gdy trafiamy na ten symbol przy granicach, to mogą wyjść po prostu różne liczby, właściwie każda liczba rzeczywista oraz nieskończoność (plus lub minus) - tak jak w granicy trzeciej podanej wyżej.
Jakiś czas temu oglądałam pewien filmik w internecie, który w podobny sposób jak ja wyżej tłumaczył, dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony. Utkwiło mi w głowie takie rozumowanie i go tutaj powieliłam, ale ten przypadek pokazuje mi z jakim dystansem i krytycznym okiem trzeba podchodzić do treści znajdywanych w sieci. Dzięki!
Jakiś czas temu oglądałam pewien filmik w internecie, który w podobny sposób jak ja wyżej tłumaczył, dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony. Utkwiło mi w głowie takie rozumowanie i go tutaj powieliłam, ale ten przypadek pokazuje mi z jakim dystansem i krytycznym okiem trzeba podchodzić do treści znajdywanych w sieci. Dzięki!