Nierówność indukcją

[aolo23]

A to jeszcze wrzucę jedno zadanie co by nie tworzyć nowego wątku
Również indukcja:

mamy:
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)

1 dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) jest spełnione (nie chce mi się rozpisywać)

2.
Zał : \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)
Teza : \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} \Rightarrow \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

zauważmy że :
\(\displaystyle{ n!< \left( n+1 \right) n! = \left( n+1 \right) !}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

z Zał mamy że \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)
z przechodności nierówności
\(\displaystyle{ \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

Jest to poparwne rozwiązanie?

[a4karo]

Wnioskujesz tak:
skoro \(\displaystyle{ 5<10}\) i \(\displaystyle{ 6<8}\) to \(\displaystyle{ 10<8}\)

[aolo23]

no nie koniecznie bo zakładamy że założenie jest prawdziwe i jedynie n zmieniamy
to nie implikuje że dalsze rozumowanie jest poprawne ?

[a4karo]

No to uzasadnij zdanie: z przechodniości nierówności wynika...

[aolo23]

Dobra rzeczywiście można by było użyć innego sformułowania
Można to sformować że: z tego wynika nierówność 2. będzie to poprawy zapis?

[a4karo]

Ale z czego wynika ta nierówność? To dalej sa tylko słowa.

Masz ciąg nierównośći
\(\displaystyle{ n!< \left( n+1 \right) n! = \left( n+1 \right) !}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

z Zał mamy że \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)

Stąd jestes w stanie wywnioskować, że
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

Ale nie wiadomo jak stąd wynika, że \(\displaystyle{ \left( n+1 \right) !<\left(\frac{n+2}{2}\right) ^{n+1}}\)


Inna sprawa, że robienie tej nierówności indukcją nie jest najlepszym pomysłem

[aolo23]

Zgadzam się z tobą co do rozumowania w 100% uznje swój błąd
Jednak mój profesor wrzucił ta nierówność by dowód przeprowadzić przez indukcje. Także stosuje się do zaleceń
Jakaś wskazówka jak "podbpiąc (n+1)! by się zgadzało?


Czy można zrobić to w ten sposób
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n}}\)

stąd:
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n} / \cdot \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( n+1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{n+2}{2} \right) \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1} \left( n+1 \right)}\)


i wystarczyłoby pokazać że \(\displaystyle{ \left( \frac{n+2}{2} \right) < \left( n+1 )}\) , dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

[a4karo]

Zacznij od \(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n! <}\)
Tu wydaje się być właściwe miejsce do zastosowania założenia indukcyjnego...
I dalej trzeba szacowac

[aolo23]

Nie mam czasu nad zastanawianiem się dłużej nad tym zadaniem

[Premislav]

Aha, to my mamy mieć czas na Twoje studia, a nie Ty? Kiepsko to wygląda.

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy \(\displaystyle{ 1+2+\ldots+n= \frac{n(n+1)}{2}}\), zatem na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} \ge \sqrt[n]{1\cdot 2\cdot \ldots\cdot n} =\sqrt[n]{n!}}\), podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i do widzenia, nie wiem po co tu indukcja.
Chociaż… nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną można udowodnić właśnie przez indukcję. Najpierw lemat dla dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots x_n}\):
jeśli \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n=1}\), to \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots+x_n\ge n}\)
(indukcyjny dowód tego lematu wiele razy był pisany na forum, np. tutaj), następnie ustalmy dowolne rzeczywiste dodatnie liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n}\) i połóżmy w tym lemacie
\(\displaystyle{ x_1= \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}, \ x_2=\frac{a_2}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}, \ \ldots x_n=\frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}}\).

[aolo23]

"Aha, to my mamy mieć czas na Twoje studia, a nie Ty? Kiepsko to wygląda."

Nie, nie mam czasu nad szukaniem pomocy u kogoś kto chce rozwiązywać zadanie według własnego uznania, lecz tak jak powinno to być , które sugeruje treść.
A na naukę mam czas i przeznaczam go na nią w sporej ilości więc nie ocenia się lubi po źle zinterpretowanych wiadomościach.
Zawsze lubię wracać do tych trudnych na sam koniec dnia by już po przerobionym materiale spokojnie do nich przysiąść.

[Premislav]

Nie, nie mam czasu nad szukaniem pomocy u kogoś kto chce rozwiązywać zadanie według własnego uznania, lecz tak jak powinno to być , które sugeruje treść.

No offence, ale może od czasu do czasu poczytaj jakąś książkę, bo ta składnia woła o pomstę do nieba. Nie chodzi o to, żeby koniecznie być jakimś cholernym polonistą, ale pisząc w ten sposób, ryzykujesz, że nie zostaniesz zrozumiany (już mniejsza z tym, że nie zostawiasz o sobie najlepszego świadectwa).

Poza tym wyżej napisałeś jednak coś innego:

Nie mam czasu nad zastanawianiem się dłużej nad tym zadaniem

,
już po tym, jak zasugerowano Ci jak przeprowadzić dowód indukcyjny, więc ewidentnie coś kręcisz (BTW w moim sposobie też jest indukcja, przy dowodzie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną). Zinterpretowałem to najlepiej, jak było można po takiej wypowiedzi.

Drugi krok indukcyjny sprowadza się do tego, by z tego, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ n!<\left( \frac{n+1}{2}\right)^n}\), wywnioskować, że \(\displaystyle{ (n+1)!<\left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}\)
i można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n!<(n+1)\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^n= \frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}}\)
- skorzystałem po prostu z założenia indukcyjnego. Zatem, ponieważ nierówności są przechodnie, wystarczyłoby wykazać, iż dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+, \ n\ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}\le \left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}\),
a po prostych przekształceniach algebraicznych (mnożenie/dzielenie stronami) równoważnie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2}\)
Jest to bezpośrednią konsekwencją

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Bernoulliego

dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n+1}, \ a=n+1}\)
(jak ktoś nie zna tej nierówności, to może zamiast tego rozwinąć ze wzoru dwumianowego Newtona
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}\) i zauważyć, że wszystkie składniki rozwinięcia są dodatnie, więc zmniejszymy sumę otrzymaną poprzez to rozwinięcie, ucinając ją po drugim wyrazie).