Trudna granica

[Jakub Gurak]

Niemniej, nie będę udawał, jest to zadanie z logiki, z rachunku zdań. Chciałbym zmierzyć się z tym, niełatwym zadaniem. Mam jego rozwiązanie, ale jest ono trochę skrótowe i niezrozumiałe. Proszę więc, o pomoc. Oto zadanie:

Niech \(\displaystyle{ F_n}\) oznacza ilość boolowskich funkcji \(\displaystyle{ \text{n}}\) argumentowych, a \(\displaystyle{ P_n}\) ilość boolowskich funkcji \(\displaystyle{ \text{n}}\) argumentowych, takich że przy pomocy każdej z nich da się zdefiniować dowolną funkcję boolowską (czyli jeśli \(\displaystyle{ \circ}\) jest takim spójnikiem, to zbiór \(\displaystyle{ \{\circ\}}\) jest funkcjonalnie pełny). Udowodnij istnienie poniższej granicy, i wyznacz jej wartość
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{P_n}{F_n}}\).

Czyli, ile jest spójników \(\displaystyle{ \circ}\) ,\(\displaystyle{ n}\)- argumentowych, w stosunku do wszystkich spójników \(\displaystyle{ n}\) -argumentowych, o tej własności, że jedynie przy pomocy \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować wszystkie spójniki. Oczywiście, tu trzeba poprawić, liczymy z takich wielkości granicę, przy \(\displaystyle{ n \rightarrow +\infty}\).

Początek rozwiązania:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \displaystyle n>1}\). Niech \(\displaystyle{ \displaystyle \circ}\) będzie spójnikiem \(\displaystyle{ \displaystyle n}\) argumentowym takim, że zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle \{\circ\}}\) jest funkcjonalnie pełny. Zastanówmy się jaką funkcję unarną definiuje formuła \(\displaystyle{ \displaystyle \circ(x, \dots, x)}\). Funkcja ta nie może na samych \(\displaystyle{ 1}\) dawać wartości \(\displaystyle{ 1}\), gdyż wtedy każda formuła unarna poza formułą \(\displaystyle{ \displaystyle x}\) zbudowana z \(\displaystyle{ \displaystyle \circ}\) byłaby stale równa \(\displaystyle{ 1}\) (indukcyjny dowód pomijamy), a więc nie dałoby się zdefiniować \(\displaystyle{ \displaystyle \neg}\) przyp pomocy \(\displaystyle{ \displaystyle \circ}\). Z tych samych przyczyn formuła \(\displaystyle{ \displaystyle \circ(x, \dots, x)}\) na samych \(\displaystyle{ 0}\) nie może przyjmować wartości \(\displaystyle{ 0}\). Wynika stąd, że konieczne jest aby

\(\displaystyle{ \displaystyle \circ(x, \dots ,x) \equiv \neg x. \quad \mbox{(5.1)}}\)

Podkreśliłem z czym mam problem. Nie wiem, co to jest funkcja unarna... I nie jest jasno tu powiedziane, co należałoby indukcyjnie udowodnić. Ktoś pomoże...

Jakby się ktoś zastanawiał, to sam szkic dowodu jest od dawna dla mnie zrozumiały.

Ukryta treść:    

Najpierw opisujemy problem, które spójniki mają żądaną własność ( to jest większość tego zadania), potem, dzięki temu, zliczamy ile jest takich spójników \(\displaystyle{ n}\)-argumentowych, i ile jest wszystkich spójników \(\displaystyle{ n}\)-argumentowych, a na koniec, mając w zależności od \(\displaystyle{ n}\) potrzebne wielkości, prostym (chyba) rachunkiem liczymy granicę ( to już tylko zwieńczenie dzieła).

-- 11 lis 2017, o 23:33 --

I nie jest jasno tu powiedziane, co należałoby indukcyjnie udowodnić

OK, domyśliłem się o co chodzi, i udało się to udowodnić, ale coś nie jestem pewny czy poprawnie. Proszę o sprawdzenie.

Podobnie, jak się dowodzi, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \wedge \right\}}\) nie jest funkcjonalnie pełny, przypuszczamy najpierw , że \(\displaystyle{ \circ(1, \dots, 1)=1}\), i dowodzimy indukcyjnie, że każda formuła zbudowana jedynie ze spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) i zmiennych, przyjmuje zawsze wartość \(\displaystyle{ 1}\), jeśli wszystkie zmienne są wartościowane na \(\displaystyle{ 1}\). Dowód poprowadzimy przez indukcję, ze względu na ilość wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\).

Baza indukcji. Jeśli \(\displaystyle{ \circ}\) ma zero wystąpień, to formuła musi być postaci \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną. Wtedy wartościowanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ 1}\), wartościuje oczywiście tą formułę na \(\displaystyle{ 1}\). Baza indukcji jest więc spełniona.

Niech \(\displaystyle{ n>0}\), i przypuśćmy, że wszystkie formuły złożone z mniej niż \(\displaystyle{ n}\) wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) mają żądaną własność. Weźmy dowolną formułę \(\displaystyle{ P}\), gdzie występuje dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\). Rozważmy wartościowanie wszystkich zmiennych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},\ldots, x_{k}}\) na \(\displaystyle{ 1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n>0}\), to \(\displaystyle{ P}\) jest postaci \(\displaystyle{ \circ( P_{1} ,P_{2} \dots, P_{m})}\). Zauważamy, że każda formuła \(\displaystyle{ P_{i}}\) ma mniej niż \(\displaystyle{ n}\) wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\). Ponieważ \(\displaystyle{ P\left( x_{1},x_{2},\ldots, x_{k}\right) \Longleftrightarrow \circ( P_{1} ,P_{2} \dots, P_{m})}\), więc aby definicja \(\displaystyle{ P}\) była poprawna, więc po prawej stronie równoważności również możemy używać jedynie (niektórych) ze zmiennych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},\ldots, x_{k}}\). Ale wszystkie zmienne \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},\ldots, x_{k}}\) są wartościowane na \(\displaystyle{ 1}\), więc po prawej stronie wszystkie zmienne są wartościowane na \(\displaystyle{ 1}\), i każda formuła \(\displaystyle{ P_{i}}\) ma wszystkie zmienne wartościowane na \(\displaystyle{ 1}\). Ponieważ każda formuła \(\displaystyle{ P_{i}}\) ma mniej niż \(\displaystyle{ n}\) wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\), więc na mocy założenia indukcyjnego, każda taka formuła jest wartościowana na \(\displaystyle{ 1}\). Wnioskujemy, że \(\displaystyle{ P\left( 1,\ldots,1\right)}\) ma tą samą wartość, co \(\displaystyle{ \circ\left( 1,\ldots,1\right)}\), a więc \(\displaystyle{ 1}\). Wobec dowolności wyboru formuły \(\displaystyle{ P}\), wszystkie formuły złożone z \(\displaystyle{ n}\) wystąpień spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) mają żądaną własność.

Na mocy zasady indukcji własność jest udowodniona.

Wiemy, że każda formuła zbudowana jedynie ze spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) przyjmuje zawsze wartość \(\displaystyle{ 1}\), jeśli zmienne są wartościowane na \(\displaystyle{ 1}\). Nie jest więc możliwe zdefiniowanie np. spójnika \(\displaystyle{ F}\) fałszu, gdyż przy jakimkolwiek zdefiniowaniu, jeśli zmienne będziemy wartościować na \(\displaystyle{ 1}\), to zgodnie z powyższym przyjmie on wartość \(\displaystyle{ 1}\), a ten spójnik \(\displaystyle{ F}\) jest zawsze fałszywy, sprzeczność.

[Jakub Gurak]

Zrozumiałem wczoraj (mniej więcej) rozwiązanie tego fascynującego zadania.
Oto rozwiązanie:

Uzasadnijmy najpierw, że przy pomocy jedynie spójnika \(\displaystyle{ NAND}\) można zdefiniować dowolny spójnik.

Łatwo jest zauważyć prawo:

\(\displaystyle{ x\left( NAND\right) x \Longleftrightarrow \neg x.}\)

Z definicji spójnika \(\displaystyle{ NAND}\), mamy:

\(\displaystyle{ x\left( NAND\right) y \Longleftrightarrow \neg \left( x \wedge y\right) .}\)

Wobec czego:

\(\displaystyle{ \neg \left[ x\left( NAND\right) y \right] \Longleftrightarrow \left( x \wedge y\right) .}\)

I, po zapisaniu negacji za pomocą spójnika \(\displaystyle{ NAND}\), podstawiając w pierwszym prawie za \(\displaystyle{ x}\) podstawiając \(\displaystyle{ \left[ x\left( NAND\right) y \right]}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left[ x\left( NAND\right) y\right] NAND \left[ x\left( NAND\right)y \right] \Longleftrightarrow x \wedge y.}\)

Zdefiniowaliśmy zatem negację i koniunkcję przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ NAND}\).

Ponieważ przy pomocy spójników negacji i koniunkcji można zdefiniować dowolny spójnik, a negację i koniunkcję zdefiniowaliśmy używając tylko spójnika \(\displaystyle{ NAND}\), więc również przy pomocy tylko spójnika \(\displaystyle{ NAND}\) można zdefiniować dowolny spójnik.\(\displaystyle{ \square}\)

Analogicznie udowadniamy, że przy pomocy wyłącznie spójnika \(\displaystyle{ NOR}\) można zdefiniować dowolny spójnik (gdyż przy pomocy spójnika negacji i alternatywy można zdefiniować dowolny spójnik ).

Przejdźmy do naszego zadania:

ROZWIĄZANIE:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n}\) naturalne, \(\displaystyle{ n>1}\).

Niech \(\displaystyle{ \circ}\) będzie spójnikiem \(\displaystyle{ n}\)-argumentowym takim, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \circ\right\}}\) jest funkcjonalnie pełny, czyli tak aby przy pomocy wyłącznie spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można by było zdefiniować dowolny spójnik.

Wtedy spójnik \(\displaystyle{ \circ}\) na samych wartościach \(\displaystyle{ 1}\) nie może przyjmować wartości \(\displaystyle{ 1}\), bo wtedy każda formuła postaci \(\displaystyle{ \circ \left( x,x,\ldots, x\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną, poza formułą '\(\displaystyle{ x}\)', a dla pozostałych formuł zbudowanych tylko ze spójnika \(\displaystyle{ \circ}\), byłyby one stale równe \(\displaystyle{ 1}\), a więc nie dałoby się zdefiniować negacji przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\).

Z podobnych przyczyn spójnik \(\displaystyle{ \circ}\) na samych zerach nie może przyjmować wartości zero.
Wynika stąd, że musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \circ \left( x,x,\ldots, x\right) \Longleftrightarrow \neg x}\).(*)

Przyjmijmy, że: \(\displaystyle{ \overline{0}= 1}\) i \(\displaystyle{ \overline{1}=0}\)- jest to zamiana wartości zero-jedynkowych.

Notację tą rozszerzymy na spójniki \(\displaystyle{ n}\)-argumentowe, tzn.:

Dla \(\displaystyle{ x= \left( x_1, x_2,\ldots,x_n \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i \in \mathbb{B}= \left\{ 0,1\right\} }\), to definiujemy:

\(\displaystyle{ \overline {x}= \overline{\left( x_1, x_2\ldots,x_n \right) }= \left( \overline{x_1}, \overline{x_2}, \ldots, \overline{x_n}\right) .}\)

Jest to układ zero-jedynkowy o 'przeciwnych' wartościach.

Pokażemy, że dowolny spójnik \(\displaystyle{ n}\) argumentowy spełniający (*) (bo wiemy już, że dla badanych spójników jest to warunek konieczny) pozwala zdefiniować wszystkie inne spójniki, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje układ zero-jedynkowy \(\displaystyle{ x}\) (długości \(\displaystyle{ n}\)), taki, że: \(\displaystyle{ \circ \left( x\right) = \circ \left( \overline{x}\right).}\)

Tzn. przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować wszystkie inne spójniki, jeśli na samych zerach daje on wartość jeden, a na samych jedynkach daje on wartość zero, i gdy jest możliwe, aby wartość tego spójnika na pewnym układzie była taka sama, jak wartość tego spójnika na układzie zupełnie przeciwnym ( zgodnie z wprowadzoną notacją )- to wtedy przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować dowolny spójnik.

Aby to pokazać, to niech:

Niech \(\displaystyle{ \circ }\) będzie spójnikiem \(\displaystyle{ n}\)-argumentowym spełniającym \(\displaystyle{ }\)(*).

Zaczniemy od pokazania, że jeżeli nie istnieje taki układ zero-jedynkowy, to nie wszystkie spójniki można zdefiniować przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\).
W takim wypadku: dla każdego układu \(\displaystyle{ x=\left( x_1, x_2, \ldots, x_n\right)}\) zero-jedynkowego, mamy: \(\displaystyle{ \overline{\circ \left( x\right)} = \circ \left( \overline{x}\right) .}\)
A zatem zmiana wartościowania zmiennych dla tego spójnika na 'przeciwne' zmienia również wartość formuły na przeciwną. Nie jest więc zaskakującym, że dla dowolnego spójnika zbudowanego wyłącznie ze spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) również tak jest. Wobec czego nie jest możliwe zdefiniowania funkcji stale fałszywej \(\displaystyle{ F}\), bo jakkolwiek by ona nie była zdefiniowana, to możemy zmienić wartościowanie zmiennych na przeciwne, i, zgodnie z powyższym, zmieni się wtedy również wartość formuły na przeciwną, a ona jest stale fałszywa, więc nie może się zmienić- sprzeczność. Wobec czego nie jest możliwe zdefiniowanie żadnej funkcji stałej przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\), a więc nie wszystkie spójniki można zdefiniować przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ.}\)

Pokażemy teraz, że jeśli istnieje przynajmniej jeden układ zero-jedynkowy \(\displaystyle{ x}\) dla którego \(\displaystyle{ \circ \left( x\right) =\circ\left( \overline{x} \right)}\), to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \circ\right\}}\) jest funkcjonalnie pełny, czyli wszystkie spójniki będzie można zdefiniować przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ. }\)

Niech \(\displaystyle{ x=\left( x_1, x_2, \ldots, x_n\right)}\) będzie takim układem.

Zdefiniujmy spójnik dwuargumentowy \(\displaystyle{ \oplus}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ a\oplus b \Longleftrightarrow \circ \left( w_1, w_2,\ldots, w_n\right) , \hbox{ gdzie: } w_i= a, \hbox{ gdy } x_i=1, \hbox{ i } w_i= b, \hbox{ gdy } x_i=0. }\)

Wtedy \(\displaystyle{ w_i \in \left\{ a,b\right\}}\), więc możemy podstawiać za \(\displaystyle{ a}\) i za \(\displaystyle{ b}\) zera i jedynki, i tak samo możemy podstawiać po prawej stronie równoważności zera i jedynki jako argumenty spójnika \(\displaystyle{ \circ}\), możemy odpowiednio za \(\displaystyle{ a}\) i za \(\displaystyle{ b}\) podstawiać wartości prawdy i fałszu, i wartość logiczna naszego spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) na tym układzie będzie wartością definiowanego spójnika \(\displaystyle{ \oplus.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a=b=0}\), to \(\displaystyle{ w_i \in \left\{ 0\right\} }\), a zatem \(\displaystyle{ w_1= w_2=\ldots= w_n=0}\), a zatem:

\(\displaystyle{ a\oplus b \Leftrightarrow \circ \left( 0,0,\ldots, 0\right) = 1.}\)

Podobnie jeśli: \(\displaystyle{ a=b=1}\), to \(\displaystyle{ w _{i} \in \left\{ 1\right\}}\), skąd:

\(\displaystyle{ a\oplus b \Leftrightarrow \circ \left( 1,1, \ldots, 1\right)= 0.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \circ \left( x\right) =\circ \left( \overline{x}\right)}\), to w pozostałym wypadku spójnik \(\displaystyle{ \oplus}\) przyjmuje stała wartość \(\displaystyle{ c \in \left\{ 0,1\right\}}\), a więc możemy go opisać tabelą:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\oplus & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & c \\ \hline
1 & c & 0 \\ \hline
\end{array}}\)

W zależności od wartości \(\displaystyle{ c \in \left\{ 0,1\right\}}\), to: \(\displaystyle{ \oplus \in \left\{ NAND, NOR\right\}.}\)

W obydwu przypadkach przy pomocy tego spójnika można zdefiniować dowolny spójnik, gdyż przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ NAND}\) można zdefiniować dowolny spójnik i przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ NOR}\) można zdefiniować dowolny spójnik. Ponieważ spójnik \(\displaystyle{ \circ}\) jest jedynym spójnikiem występującym w definicji spójnika \(\displaystyle{ \oplus}\), to również przy pomocy spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować dowolny spójnik, i zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \circ\right\}}\) jest funkcjonalnie pelny.

Mamy zatem naszą charakteryzację spójników \(\displaystyle{ \circ}\), takich, że przy pomocy wyłącznie spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować dowolny spójnik.
Spróbujmy oszacować ich ilość.

Zauważmy najpierw, że wszystkich spójników \(\displaystyle{ n}\)- argumentowych jest dokładnie \(\displaystyle{ 2 ^{2 ^{n} } .}\)

Wszystkich zaś spójników spełniających (*) jest jedna czwarta tej liczby, gdyż układ \(\displaystyle{ \left( 0,0,\ldots, 0\right)}\) daje wartość \(\displaystyle{ 1}\), a układ \(\displaystyle{ \left( 1,1,\ldots, 1\right)}\) daje wartość \(\displaystyle{ 0}\), a pozostałe układy mogą dawać dowolną wartość logiczną, więc te dwa wartościowania są ustalone, a pozostałe mogą być dowolne, skąd ich liczba wynosi dokładnie: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4} \right) 2 ^{2 ^{n} } = 2 ^{2^{n}-2}.}\)

Wszystkich spójników \(\displaystyle{ \circ}\), takich, że: \(\displaystyle{ \circ \left( \overline{x}\right) = \overline{ \circ (x)} }\), dla pewnego układu \(\displaystyle{ x}\) zerojedynkowego, czyli takich spójników, że wartość logiczna na pewnym układzie jest przeciwna do wartości na układzie zupełnie przeciwnym, takich spójników jest dokładnie: \(\displaystyle{ 2 ^{2 ^{n-1} } }\), (z każdej pary przeciwnych wartościowań wybieramy jedno takie wartościowanie).

Po odrzuceniu połowy takich spójników nie spełniających (*), otrzymamy:

\(\displaystyle{ P_n= \left( \frac{1}{4} \right) \cdot 2 ^{2 ^{n} }- \left( \frac{1}{2} \right) 2 ^{2 ^{n-1} };}\)

dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN}\),\(\displaystyle{ n>1.}\)

I mamy:

\(\displaystyle{ F_n= 2 ^{2 ^{n} } }\),

dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), \(\displaystyle{ n>1.}\)

Możemy zatem obliczyć granicę (jako zwieńczenie dzieła ):

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to +\infty } \frac{P_n}{F_n}= \lim_{ n\to +\infty } \frac{\left( \frac{1}{4} \right) 2 ^{2 ^{n} } - \left( \frac{1}{2} \right) 2 ^{2 ^{n-1} } }{2 ^{2^n} } = \lim_{ n\to+ \infty } \left( \frac{1}{4} \right) \left[ 1- 2 \cdot \left( \frac{2 ^{2 ^{n-1} }}{ 2 ^{2^n} } \right) \right] = \left( \frac{1}{4} \right) \cdot \lim_{ n\to+\infty } \left( 1- 2 \cdot 2 ^{2 ^{n-1}-2^n } \right) =\left( \frac{1}{4} \right) \lim_{ n\to + \infty } \left[ 1-2 \cdot 2 ^{-2 ^{n-1} } \right]=\\ = \left( \frac{1}{4}\right) \cdot \lim_{ n\to + \infty } \left[ 1- 2 \cdot \left( \frac{1}{2 ^{2 ^{n-1} } } \right) \right]= \frac{1}{4} \cdot \left( 1-2 \cdot 0\right) = \frac{1}{4}. }\)

Co oznacza, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) naturalnych blisko co czwarty spójnik \(\displaystyle{ \circ}\), spójnik \(\displaystyle{ n}\)- argumentowy, ma tą własność, że przy pomocy tylko tego spójnika \(\displaystyle{ \circ}\) można zdefiniować dowolny spójnik. Myślę, że ciekawym już jest, że takie spójniki istnieją ( no tak, istnieją, np. dwuargumentowy spójnik \(\displaystyle{ NAND}\)), a dla dużych \(\displaystyle{ n}\) naturalnych blisko co czwarty spójnik \(\displaystyle{ n}\)-argumentowy ma taką własność, że przy pomocy tylko jego można zdefiniować dowolny spójnik- zadziwiające.\(\displaystyle{ \square}\)


Na koniec dodam taką prostą sztuczkę, że jeżeli następnik implikacji jest prawdziwy, to cała implikacja jest prawdziwa- łatwo można się o tym przekonać.

[a4karo]

Na koniec dodam taką prostą sztuczkę, że jeżeli następnik implikacji jest prawdziwy, to cała implikacja jest prawdziwa- łatwo można się o tym przekonać.

Warto było studiować cztery lata

[arek1357]

Nasuwają mi się takie dwie fajne i proste implikacje:

1. Jeżeli pilnie studiuję przez 4 lata to wiem co piszę i mówię...

2. Jeżeli jestem niezbyt pilnym studentem to piszę i mówię co wiem...

Dodano po 2 minutach 52 sekundach:
Z drugiej implikacji wychodzą farmazony wyprodukowane przez studenta a cała implikacja jest prawdziwa , więc mamy paradoks...

[Jakub Gurak]

A słyszałeś wierszyk "Na wyspach Bergamutach"-- wyciągnij z niego wnioski, co pomoże Ci zrozumieć dlaczego implikacja o fałszywym poprzedniku jest zawsze prawdziwa.

Jeszcze jedna sztuczka:
Jeśli dwie formuły \(\displaystyle{ \alpha }\) i \(\displaystyle{ \beta }\) są równoważne, to ich koniunkcja jest równoważna obydwóm składnikom tej koniunkcji, tzn.:
\(\displaystyle{ \left( \alpha \wedge \beta\right) \Leftrightarrow \alpha , \beta. }\) Podobnie, jeśli dwie formuły \(\displaystyle{ \alpha }\) I \(\displaystyle{ \beta }\) są równoważne, to ich alternatywa jest równoważna obydwóm składnikom tej alternatywy, czyli: \(\displaystyle{ \left( \alpha \vee \beta \right) \Leftrightarrow \alpha , \beta. }\)

W całej książce "Logika formalna" Ludwika Borkowskiego (tylko tej cieńkiej, grubszą też miałem w ręku, ale tylko z fragmentami zapoznałem się ) nie pojawiają się takie prawa (ale można łatwo przekonać się o ich prawdziwości).