Dany jest okrąg \(\displaystyle{ |z - 1| = 1}\) na płaszczyźnie zespolonej.
Pokazać, że okrąg ten można sparametryzować jako \(\displaystyle{ z(t) = e^{it} + 1}\).
Nie mam pomysłu jak zacząć. Pomożecie?
Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Quillrabe
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.
Wstaw \(\displaystyle{ z(t)}\) do równania okręgu i pokaż że równość zachodzi.
\(\displaystyle{ \left| z-1\right|=1}\)
\(\displaystyle{ \left| e^{it}+1-1\right|=1}\)
\(\displaystyle{ \left| e^{it}\right|=1}\)
\(\displaystyle{ 1=1}\)
\(\displaystyle{ \left| z-1\right|=1}\)
\(\displaystyle{ \left| e^{it}+1-1\right|=1}\)
\(\displaystyle{ \left| e^{it}\right|=1}\)
\(\displaystyle{ 1=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.
To jeszcze za mało. Na razie wiemy, że te punkty leżą na okręgu, ale nie wiemy, czy tak opiszemy je wszystkie.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Quillrabe
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.
A jak się wykazuje, że opiszemy je wszystkie? Bo zakładam, że wszystkie możemy je w ten sposób opisać, tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.
\(\displaystyle{ z = x+ iy.}\)
\(\displaystyle{ |z-1| = |(x-1) + iy| = \sqrt{(x-1)^2 +y^2}=1.}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 = 1}\) (1)
Zapisujemy równanie okręgu (1) we współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ x(t) = 1 +\cos(t), \ \ y(t)= sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)
Ze wzoru Leonharda Eulera:
\(\displaystyle{ z(t) = x(t) + iy(t) = 1 +\cos(t) + i\sin(t) = 1 +e^{it}.}\)
\(\displaystyle{ |z-1| = |(x-1) + iy| = \sqrt{(x-1)^2 +y^2}=1.}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 = 1}\) (1)
Zapisujemy równanie okręgu (1) we współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ x(t) = 1 +\cos(t), \ \ y(t)= sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)
Ze wzoru Leonharda Eulera:
\(\displaystyle{ z(t) = x(t) + iy(t) = 1 +\cos(t) + i\sin(t) = 1 +e^{it}.}\)