Ile prostych wyznaczają punkty na płaszczyźnie

Waylays · Post autor: **Waylays** » 10 lis 2017, o 11:57

Dobry,
jeśli ktoś mógłby dać jakąś wskazówkę, albo użyteczny link, to będę bardzo wdzięczny.

Na początku zadanie brzmi łatwo: ile prostych jest wyznaczonych przez \(\displaystyle{ 10}\) punktów na płaszczyźnie, jeśli wiadomo, że żadne \(\displaystyle{ 3}\) z tych \(\displaystyle{ 10}\) punktów nie są współliniowe? Nic nowego, wybieramy dowolne \(\displaystyle{ 2}\) punkty z \(\displaystyle{ 10}\), czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) możliwości.

Następnie natomiast sprawa się komplikuje, bo w zadaniu pytają co się stanie, jeżeli odrzucimy założenie o niewspółliniowości. Czyli jak rozumiem te punkty mogą teraz leżeć na tej płaszczyźnie w sposób bardzo dowolny? Jeżeli tak jest, to problem mam z tym, że rozważam bardzo dużo przypadków i nie za bardzo widzę jak to rozumowanie skrócić albo gdzie dostrzec jakiś pattern. Dla przykładu:
1) Dla \(\displaystyle{ 10}\) punktów współliniowych mamy \(\displaystyle{ 1}\) prostą.
2) Dla \(\displaystyle{ 9}\) punktów współliniowych i jednego niewspółliniowego z pozostałymi \(\displaystyle{ 9}\) mamy \(\displaystyle{ 9+1=10}\) prostych.
3) Dla \(\displaystyle{ 8}\) punktów współliniowych mamy już dwa przypadki: a) kiedy prosta wyznaczona przez \(\displaystyle{ 2}\) pozostałe pokrywa się z prostą wyznaczoną przez jeden punkt z \(\displaystyle{ 8}\) i jeden punkt z \(\displaystyle{ 2}\) i b) kiedy te proste się nie pokrywają. Dostaniemy więc \(\displaystyle{ 2\cdot 8 + 2 = 18}\) prostych albo \(\displaystyle{ 8+7+1=16}\) prostych.
4) Dla 7 punktów współliniowych dostałem już 5 przypadków, gdzie otrzymałem 4 różne wyniki w zależności od ułożenia prostych (\(\displaystyle{ 19, 21, 23}\) i \(\displaystyle{ 25}\) prostych). Analogicznie rozważałem proste które będą się pokrywać bądź nie.

Zacząłem rozpisywać 5) i poddałem się, bo nie widziałem celu w takim głupim wyliczaniu. Może źle do tego podchodzę i warto by na to spojrzeć od innej strony? Tylko prawie wszystkie wyniki w tych przypadkach są różne i nie mam pojęcia jak to miałbym niby uogólnić. Za wszelką pomoc będę wdzięczny.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 12 lis 2017, o 00:59

Jeśli odrzucimy założenie o współliniowości to punkty wyznaczą od jednej do \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) prostych. Taka odpowiedź wystarczy.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2017, o 04:05

kropka+ pisze:Jeśli odrzucimy założenie o współliniowości to punkty wyznaczą od jednej do \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) prostych. Taka odpowiedź wystarczy.

Nie wystarczy. Np dwóch, trzech,... prostych nigdy nie dostaniesz. Albo jedna, albo co najmniej dziewięć.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 13 lis 2017, o 14:12

a4karo pisze: Albo jedna, albo co najmniej dziewięć.

A kiedy będzie te dziewięć?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lis 2017, o 16:33

Nie będzie. Ale czy musi żeby moje stwierdzenie było prawdziwe?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 13 lis 2017, o 17:13

Na tej zasadzie moja odpowiedź też jest poprawna

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lis 2017, o 17:35

Całe szczęście, że nie muszę oceniać Twojego "rozwiązania".

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lis 2017, o 17:46

Przecież to sama radość, wstawiamy zero punktów i spokój. Najgorzej jest oceniać rozwiązania, które bądź to mają całkowicie poprawną ideę, ale dużo usterek formalnych, bądź takie, które opierają się na innej interpretacji treści niż leżąca w zamyśle twórcy zadania, ewentualnie korzystają z egzotycznych twierdzeń bez ich dowodu. Tutaj nie mamy tego przypadku.

Przepraszam za off-topic, w sumie można to usunąć.

Matematyka.pl